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2024-2025学年江苏省扬州一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么 ( )
A. B. C. D.
2.已知函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
3.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 在上为减函数
B. 在处取极小值
C. 在上为减函数
D. 在处取极大值
5.有不同的语文书本，不同的数学书本，不同的英语书本，从中选出不属于同一学科的书本，则不同的选法有种
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.下列函数中，在区间内单调递减的是( )
A. B. C. D.
7.如图，空间四边形中，，，，是的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，后相继研发出双面三异绣、双面异色绣等绣技其中双面异色绣是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面对应部位图案相同而色彩不同的绣技某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为如图中三片花瓣图案做一幅双面异色绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面异色绣作品的不同色彩设计方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
10.对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是( )
A. 使的一定是函数的极值点
B. 在上单调递增是在上恒成立的充要条件
C. 若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D. 若在上存在极值，则它在一定不单调
11.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 直线与底面所成的角为
B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与直线的距离为
D. 直线与平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，当时，实数的值为______．
13.若函数，则 ．
14.把个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从名男生和名女生中选取人依次进行面试．
若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
若参加面试的人中，恰好有名女生，则有多少种不同的面试方法？
16.本小题分
如图，长方体底面是边长为的正方形，高为，为线段的中点，为线段的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程．
试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，侧面是正三角形，侧面底面，为中点，作交于．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
在平面内是否存在点使得，若存在，求动点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
当时，判断方程的实根个数，并加以证明；
求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意从名女生中选取人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从名女生中选取人依次进行排列，
此时对应有种不同的面试方法．
安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步：
一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步：
第一步从名女生中选取名女生；
第二步从名男生中选取名男生；
由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有种．
另一方面：注意到名面试者是依次进行面试的，
即再对刚刚组合好的名面试者进行一次排列，
有种排列方法．
结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有种．
16.解：证明：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
又为线段的中点，所以，
所以，
易知平面的法向量可以为，
所以，即，
又平面，
所以平面．
由可得，所以，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，可得，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：当时，，则，
又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
假设存在实数，使得在上单调递增，
则对，恒成立，
即对恒成立，令，
当时，为减函数，则，
所以，又，所以的取值范围为．
18.解：证明：由侧面底面，侧面底面，平面，
又底面是直角梯形，，，故BC，
所以平面，平面，则，
由侧面是正三角形，为中点，则，
而，且都在面内，则面，平面，
所以平面平面，而，平面平面，平面，
所以平面．
依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，
，
所以，，
令是面的一个法向量，
则，则，
令，则，
令是面的一个法向量，
则，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值．
由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使．
19.解：
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
所以当时，函数存在极大值，无极小值；
令，
，
，
即，
令，
解得或
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
又，，
，
函数在上连续，
所以有一个零点，且在上有一个零点，
即函数有两个零点
当时，方程的实根个数为个；
方法一由知，
即证：当时，对于任意实数，
不等式恒成立．
当，
即时，
则时，，单调递减；
时，，单调递增．
．
当时，恒成立；
当，
即时，
则时，，单调递增；
，单调递减；
时，，单调递增．
，，
当时，恒成立；
综上：当时，对于任意实数，恒成立，
即不等式恒成立．
方法二由知，
即证：当时，对于任意实数，
不等式恒成立．
在时，
，
又，得：，
为在上是增函数，故；
在时，
由于，
所以
要证明成立，
即证，
也即证
由于，
只需证．
不妨令，
．
由，
得且不恒为，
所以在区间上单调递减，
，
从而得证．
综上，当时，对于任意实数，恒成立，
即不等式恒成立．
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