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2024-2025学年贵州省贵阳市第三实验中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，满足，且，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 在上的值域为
7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱安排甲、乙、丙、丁名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，发生的概率分别为，，则( )
A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则
C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则
10.设抛物线：的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线的方程是
B. 的最小值为
C. 所在直线被抛物线所截得的弦长为
D. 以线段为直径的圆与轴相切
11.已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，若，，，，则( )
A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知等比数列的前项和满足，则______．
14.若不等式恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且满足_____．
请在；，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．
求；
若的面积为为的中点，求的最小值．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最值．
17.本小题分
如图在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图．
求证：平面；
若点是线段上的一动点，且，当二面角的正弦值为时，求的值．
18.本小题分
若双曲线的一个焦点是，且离心率为．
求双曲线的方程；
设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点不重合，
求直线的倾斜角的取值范围；
在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
讨论函数的单调性；
若，证明：函数有唯一的零点；
若，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：选择条件，，
则，
由正弦定理可得，即，
所以，由，所以；
选择条件，，
即，所以，
由，则，
所以，则；
由，解得，
又，
所以
，
所以，当且仅当时等式成立，
所以的最小值是；
另解：因为为中点，
所以，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，当且仅当时等式成立，
所以的最小值是．
16.解：因为函数，所以，
又函数在处取得极值．
则有，即，解得：，
经检验，，时，符合题意，故，．
由知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即．
由知：函数，则，
令，解得：，，
在时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增 单调递减
由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为．
17.解：证明：因为在矩形中，，，为的中点，
所以，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面；
取中点，连接，
因为，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，
由知，，所以，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
由知平面，
则平面的一个法向量可设为，
因为且，所以，
，
．
设平面的法向量为，
则，则，即，
取，则，．
即平面的一个法向量为．
因为二面角的正弦值为，
所以，
因为，解得．
18.解：因为的一个焦点是，且离心率为，
所以，，
又，
解得，，
则双曲线的方程为；
当直线斜率存在时，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时
易知，
解得或，
此时直线的倾斜角的范围为；
当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为．
综上可知，直线的倾斜角的范围为；
当直线斜率存在时，
不妨设直线和的斜率之积，，
由得，
因为，
所以，
此时，
即，
整理得，
上对于任意的都成立，
所以，
解得或，
即当坐标为时，；
当坐标为时，；
当直线斜率不存在时，
可得，，
当坐标为时，；
当坐标为时，，
综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数．
19.解：函数的定义域为，
，
当时，令得，令得，
所以函数的减区间为，增区间为；
当时，，若，，，可得；
若，，，可得；若，可得．
故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
当时，令，得或，令得，
所以函数的增区间为，，减区间为；
当时，令得或，令得，
所以函数的增区间为，，减区间为；
综上，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为，没有减区间；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为．
证明：若，函数的减区间为，增区间为，．
当时，由，有，，
由上知，函数有唯一的零点；
解：由知．若，必有又由，可得．
又由，不等式可化为，
设，
有，
当且时，，，可得，
当且时，，，可得，
当时，函数单调递增，故存在正数使得．
若，有，，有，与矛盾，可得，
当时，；当时，，可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，有，
又由，有，
有，有．
又由，有，可得，
有，可得，
由，及，可得，
故实数的取值范围为．
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