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2024-2025学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某物体在运动过程中，其位移单位：与时间单位：满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.某班从名同学中选名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.中项的系数为( )
A. B. C. D.
5.为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教现将名男大学生和名女大学生平均分配到甲、乙、丙所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
7.若函数是其定义域上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知展开式共有项，且常数项为，下列说法正确的是( )
A. B. 含项的系数为或
C. 展开式的所有项的系数和为或 D. 二项式系数和为
10.某校派名男同学和名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是( )
A. 从名同学中任选人，至少有名男同学和至少有名女同学为对立事件
B. 若名同学排成一排合影留念，要求其中的名女同学相邻，则有种不同的排法
C. 若名同学和位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙名同学站在一起，且站在甲、乙中间，则有种不同的排法
D. 若将这名同学分配到个班进行宣讲，每班至少名同学，且每名同学只去个班，则有种不同的分配方案
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数有极小值
B. 函数在处切线的斜率为
C. 当时，恰有三个实根
D. 若时，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.已知函数在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数 ______．
14.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．
求的值；
求函数的单调区间．
16.本小题分
已知，求的值；
解不等式：．
17.本小题分
为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验现在从山上和山下的试验田中各随机选取了株作为样本，每株采摘的茶叶量单位：如下表所示：
编号位置
山上
山下
根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系只需写出结论；
从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取株，记这株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望．
18.本小题分
某大型电影院在春节期间推出了哪吒等部备受瞩目的大片，某天个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？
某市年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了件，件，件机器人进行展览，工作人员需要把台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？
树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数．
19.本小题分
已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”．
判断是否为“超导函数”，并说明理由；
若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有、，记，求证：函数是“超导函数”；
已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围．
参考答案
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12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：，那么导函数，
那么，而的斜率为，
由于在点处的切线与平行，
那么，解得，
根据第一问可知，因此函数，定义域为，
导函数，
令，所以，化简可得，解得，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
所以的单调递减区间为；
当时，函数单调递增．由，即，解得或，
所以的单调递增区间为和．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
16.解：由题意得，
在中，
令，得；
令得，
所以；
因为，可知，且，
整理可得，
解得，
且，，所以或．
17.解：由山上试验田株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；
由表中数据，可得山上产茶量平均数为，
山下产茶量平均数为，
故方差，
，
故；
依题意，随机变量可以取，，，，，，
，
，
随机变量的分布列为
随机变量的期望
．
18.解：某天个家庭同时来观看电影，共有部电影，个家庭依次选择，均有种方法，
根据分步计数原理，所有不同的方法数为．
，，三家科技公司分别推出了件，件，件机器人进行展览，
工作人员需要把台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，
，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起，
再与公司的件产品一起组成个不同的元素的全排列，
最后让公司产品插空．所以符合条件的排法数为．
若甲所在班级第个出场，丙所在班级可以第或第个出场，
乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为，
若甲所在班级不是第个出场，则丁或戊所在班级第个出场，丙所在班级可以第或第个出场，
甲在剩余的中间场中选择一场，符合条件的出场顺序数为，
所以所有可能的出场顺序数为．
19.解：函数，
求导得，
则，
所以是“超导函数”．
证明：函数，
求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，
得，，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”．
由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，
函数在上单调递增，且，
由，
得，
即，
因此，即，
令，
由有且仅有一个实数满足，
得直线与函数的图象有且只有个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为
在上单调递减，函数值的集合为
因此当或时，直线与函数的图象有且只有个交点，
所以的取值范围或
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