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2024-2025学年福建省福州三中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数是虚数单位在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，的斜二侧直观图为等腰，其中，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.某校高一年级的学生参加了主题为追寻大儒足迹，传承董子文化的实践活动在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在、处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为参考数据
A. B. C. D.
5.如图所示，在正方体中，，，，分别为，，，的中点．则异面直线与所成的角等于( )
A. B. C. D.
6.若，，分别为的三个内角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
8.在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若为实数，则是实数 B. 若为虚数，则是虚数
C. 若，则是实数 D. 若，则
10.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，已知正方体的棱长为，是线段上的动点，是线段的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 的最小值是
D. 如果点是线段的中点，则平面截正方体所得的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期是______．
13.如图，是边长为的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为______．
14.在中，是边上一点，且，，则 ______；若，则的面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足．
求；
若是方程的一个根，求的值．
16.本小题分
定义向量之间的一种运算“”如下：对于任意的，，令已知．
若，且，求的坐标；
设，，解关于的不等式．
17.本小题分
在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且：：，面面．
证明：；
在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
证明：；
若，求．
19.本小题分
如图，是底面边长为的正三棱锥，、、分别为棱、、上的动点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之和
当为棱的中点时，求棱台的体积；
求在二面角的变化过程中，线段在平面上投影所扫过的平面区域的面积；
设常数，称边长为且较小内角为的菱形为菱形当点在棱上运动不含端点时，总存在底面为菱形的直平行六面体，使得它与棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：；
是方程的一个根，
，
．
16.解：设，由条件得：，
解得或，
所以或；
由题意得，
所以不等式可化为：，即，
分解因式得：，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
17.证明：底面是菱形，
，又面，面，
面，又面，面面，
，，；
解：当是棱的中点时，平面．
证明如下，如图取的中点，连结，
由于为中点，为中点，所以，
由为中点，得，知是的中点，
连结、，设，因为四边形是菱形，则为的中点，
由于是的中点，是的中点，所以，
由、，
，在平面内相交于点，，在平面内相交于点．
知平面平面，
又平面，
所以平面．

18.证明：由题设，，
又，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，
即．
解：由及题设，，且，
所以，
则，故，
又，
可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以．
19.解：因为是底面边长为的正三棱锥，截面底面，
且棱台与棱锥的棱长和相等，
所以，
又，，故，即正三棱锥为正四面体，
取的中点，连接，过点作于点，
则平面，且为的中心，则，
因为，，
则，
故，
故，
则，
当为棱的中点时，，
故棱台的体积为；
二面角的变化过程中，点在平面上的投影在上，
故线段在平面上投影所扫过的平面区域为，
显然；
设直平行六面体的高为，因为菱形的边长为，
则菱形的高，菱形的面积为，
直平行六面体的体积为，
当点在棱上运动不含端点时，
设，，则，
则棱台的体积为，则，
直平行六面体与棱台有相同的棱长和，故，
解得，
故，
因为，
又因为总存在底面为菱形的直平行六面体，使得它与棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，
所以
故，的最小值为．
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