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2024-2025学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
2.化简的值等于( )
A. B. C. D.
3.已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.函数，的单调递增区间是( )
A. B.
C. D. 和
5.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列说法错误的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的定义域为
C. 函数的图象的对称中心为，
D. 函数的单调递增区间为，
7.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.在，中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，，则角等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第二象限
10.信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是( )
A. 该函数的周期是
B. 该函数的解析式是
C. 该函数图象的对称中心是
D. 该函数图象的对称轴是直线
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若，，则最大值为
C. 若，，，则满足条件的三角形有两个
D. 若，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在中，是上靠近的一个三等分点，，，则可以用，表示为______．
13.若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
14.已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有个实数根，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点，两点，轴正半轴与单位圆交于点，已知，点的纵坐标是．
求的值；
求 的值．
17.本小题分
近年来，信阳市大别山区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳄鱼、娃娃鱼等养殖为主方向的产业发展之路某鳄鱼养殖场为扩大养殖规模，计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．
求扇形的面积；
若矩形的面积是关于的函数，求的解析式；
当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19.本小题分
若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有，若是下凸函数，则对任意，，，恒有，当且仅当时等号成立应用以上知识解决下列问题：
判断函数，，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；只写出结论，不需证明
利用中的结论，在中，求的最大值；
证明函数是上凸函数．
参考答案
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15.解：向量，，，，
．
若，
则，与矛盾，故．
于是，又，；
或或其它表达式，
，，
，
当，即时，取到最大值；
当，即时，取到最小值．
16.解：由题意，，设，
，且为锐角，
，
，
，
又点的纵坐标是，为钝角，
在单位圆上，，
，
；
，
，
，
，
，
，
故．
17.解：依题意，，扇形半径米，
则扇形的面积为平方米；
在中，，，
在中，，则，
，
则矩形的面积
，
即有；
(ⅱ)由，得，则当，
即时，．
当时，取得最大值，最大值为平方米．
18.解：因为，
由正弦定理得：，
又在中，，所以，
所以，
所以；
结合可得，，
由，则根据正弦定理：，
可得，，
根据余弦定理有，得，
所以
，
又为锐角三角形，
可得，
得，
所以，
所以
故．
19.解：时，是下凸函数，时，是上凸函数；
是上凸函数；
由知函数，上是凸函数，
在中，
所以，
由上凸函数性质知，
即有，当时等号成立，
所以最大值为；
证明：函数的定义域为，
要证明是上凸函数，
即证对任意，，
，
因为
．
因为，，
所以，，
所以，，
由基本不等式知，，
所以，
所以，
又，所以，
所以，
即有，
所以是上凸函数．
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