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2024-2025学年辽宁省铁岭市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A.
B.
C.
D.
5.设，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱中，，，，则三棱柱外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，错误的有( )
A. 的最小值是
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
10.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则( )
A. B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为 D. 的最大值为
11.如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数，且在上是增函数，则实数 ______．
13.如图，棱长为的正方体中，点在线段上运动，则的最小值为______．
14.如图，某景区有景点，，，经测量得，，，，，，则 _____，现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台．为获得最佳观景效果，要求观景台对景点、的视角为了节约修建成本，栈道长度的最小值为 _____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
若是纯虚数，且是方程的根，求实数，的值．
16.本小题分
如图所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中，，，．
在图所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积；
若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的最小值；
若为偶函数，求的值；
设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知向量，，函数．
求的解析式；并求当时，在方向上的投影向量；
已知中，角、、所对的边分别为、、，若，，，求的边上的中线长；
若，求．
19.本小题分
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且
求角的大小；
若，，求的面积；
若，求实数的最小值．
参考答案
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15.解：由题意可知，，
若复数对应的点在实轴上，则，
可得，即，
所以．
因为，
若是纯虚数，则，解得，
由题意可知，也是该方程的根，
由韦达定理可得，即，所以，．
16.解：在直观图中，，，
则在四边形中，，，
所以四边形如图所示：
由图可知，四边形为直角梯形，
所以面积为．
直角梯形以直线为轴，旋转一周形成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由可知几何体的底面圆半径，圆柱的高，
圆锥的高，母线长．
所以该几何体的体积．
表面积．
17.解：，由于恒成立，
所以函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为．
若为偶函数，则，
所以，
即恒成立，所以；
当时，函数定义域为，满足，
故若为偶函数，则；
若对于任意，存在，使得不等式成立，
则恒成立，
令，当时，，
所以，所以当时，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
18.解：由题意得，
所以
可得，
，即；
当时，，
由，可得，
所以在方向上的投影向量为；
根据，
可得，结合，可得，即．
由余弦定理，可得，所以．
设的边上的中线为，
则，可得，
所以，即的边上的中线长为；
根据，可得，即，
因为，则，所以，
可得．
19.解：由，
得，
整理可得，
得，即，
所以为直角三角形，且；
由知，所以的三个角都小于，
因为点为的费马点，
所以，设，，，
在中，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，解得，
由，
得
；
由知．
设，，，，
由得．
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，
整理得．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，整理得，
解得或者舍去，
所以实数的最小值为．
整理可得，
得，即，
所以为直角三角形，且；
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