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2024-2025学年江西省宜春中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是角终边上的一点，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植棵恰好棵都成活的概率先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定至的数字代表成活，代表不成活，再以每个随机数为一组代表次种植的结果经计算机随机模拟产生如下组随机数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，据此估计，该树苗种植棵恰好棵都成活的概率为( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 腰与底不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
5.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.函数在区间上的值域是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则其最大值与最小值之差为( )
A. B. C. D.
8.已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是( )
A. B. 满意度计分的众数为分
C. 满意度计分的分位数是分 D. 满意度计分的平均分是
10.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C. 若与共线，则为或
D. 存在，使得
11.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：秒之间的关系为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：______．
13.已知，且，则的值是______．
14.函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，的夹角是，计算：
计算，；
求和的夹角的余弦值．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知函数．
求函数在区间上的值域；
设，求的值．
18.本小题分
已知函数的周期为，为它的一个对称中心．
求函数的解析式及其单调增区间；
若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质．
分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
在结论下，若方程为常数在区间上恰有三个实数根，，，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.解：由题可得，
，所以；
，
设和的夹角为，
所以．
16.解：因为，
所以，
所以，在中，，
所以，
因为，所以，
所以，
即；
因为，，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为．
17.解：，
当时，可得：，
所以，
所以，
即在区间上的值域为．
，，即，
，
．
18.解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得，
因为为它的一个对称中心，
所以，
所以，
又，所以，
所以，
令，，
所以单调增区间：；
由，得，
故，
因此函数的值域为．
设，则，
要使关于的方程在上有实数根，
即在有实数根，
即在有实数根，
令，
则在有实数根，
即直线与在有交点，如图所示：
由图像可知．
19.解：根据题意可得：
，，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
由知，，又在区间上恰有三个实数根，，，
所以在区间上恰有三个实数根，，，
令，所以在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
即，
所以，
所以．
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