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四川省成都市成华区某校2025届高三下学期4月三诊模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.某中学随机抽取了名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第百分位数是( )
学习时间分钟
人数
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
3.已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
5.甲乙等名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲乙两人恰好选择同一岗位的选择方法有种．
A. B. C. D.
6.已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于点，交的右支于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若的展开式的各二项式系数之和为，则( )
A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大
C. 展开式中项的系数为 D. 展开式中系数为有理数的项共有项
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 若函数关于对称，则的最小值为
C. 若函数在上单调，则的取值范围是
D. 若，当时，函数的所有零点的和为
11.法国天文学家乔凡尼多美尼科卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为下列结论中，正确的是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 原点始终在曲线的内部
C. 当时，面积的最大值为
D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数满足为虚数单位，则的虚部为 ．
13.在平行四边形中，，与交于点，，则该平行四边形的面积为 ．
14.在三棱锥中，两两垂直，且若为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日至日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了位“最美家长”，其中有位妈妈，位爸爸，学校准备从这位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．
若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件，第二次抽到爸爸为事件，求和；
现需要每天从这位“最美家长”中随机选人，连续天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做场经验分享，天只做场，且人选可以重复，记这天中爸爸做经验分享的天数为，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，是等边三角形，，，且平面平面．
求证：；
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知数列满足，，记．
求证：是等比数列；
设，数列的前项和为若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．
求的方程；
过点，斜率不为的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于若，求直线的斜率．
19.本小题分
定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”．
判断函数和是否为“契合函数”
若函数和不为“契合函数”，求的取值范围
若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可知，，
．
爸爸做经验分享的天数的所有可能取值为，，，，，且，
故，，，，，
故的分布列为：
根据二项分布的期望公式可知，．
16.解：因为四边形是正方形，则，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
又平面，于是，
又，所以．
解法一：在平面内过作，
由平面平面，平面平面，得平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的法向量为，则
令，得，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的余弦值为．
解法二：取中点，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，则，，则四边形为矩形，
则且，，则，
取的中点，的中点，连接、．
因为为等边三角形，为的中点，则，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，且，
因为平面，所以，，则，
直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．
因为，平面，平面，则平面，
故点到平面的距离等于，设点到平面的距离为，
由，则，
因为，，则，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
且，
在中，，，取的中点，连接，则，
所以，，则则，
则，则，
直线与平面所成角的余弦值为．
17.由已知，，
，，，
又，，
数列中任意一项不为，，
数列是首项为，公比为的等比数列，．
由第问知，，
则，设数列的前项和为，
所以，
，
所以可得：
，
所以．
由，得，
化简得．
当为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以．
综上，的取值范围为．
18.设的方程为且，
将两点代入得，解得，
故的方程为．
依题意，设直线，
联立，消去整理得，
则，即，且．
直线，直线，
令，则，
令，则，
由，得，即，
整理得，
因为，所以，解得，
所以直线的斜率为．
19.解：根据定义，若与为“契合函数”，
则在公共定义域内有解，
又因为，，，
所以，
即，，解得，
所以与为“契合函数”．
令，，
因为与不为“契合函数，
又因为为上的连续函数，
所以在上无零点，即恒为负或恒为正．
若在上恒成立，取，则，即，
又当时，，
令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，与假设矛盾，
所以不存在使得在上恒成立．
若在上恒成立，即，
令，所以，
又因为在上单调递减，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即的取值范围是
令，则，
因为与在上为“契合函数”，
所以在上存在零点，
即在上存在零点，
又因为，
当且时，
因为，，
所以，所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意
当时，当时，，所以，
当时，令，
则，
所以在上单调递增，且，，
故在上存在唯一零点，设为，使得，
所以当时，当时，
又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上为“契合函数”．
综上，的取值范围是．
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