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2025年天津市河东区高考数学质检试卷（二）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则为( )
A. B. C. D.
2.已知，命题：，命题：，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3.如图所示，图象对应的函数解析式为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.年月日，首个版本正式上线，截至年月日，的累计下载量已超亿次，成为当下的热门话题立德中学高中数学社团以至岁人群使用频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是( )
A. 甲小组开展了每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱
B. 乙小组利用最小二乘法得到每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断年龄为岁的群体每周使用频次一定为次
C. 丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程和的分别约为和，因此经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多
D. 丁小组研究性别因素是否影响使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到可以认为不同性别的使用频次没有差异
6.已知正方体的棱长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.关于函数，下列结论不正确的为( )
A. 时，的图象关于对称
B. 时，的最小正周期为
C. 时，在区间内有两个零点
D. 时，在区间上的最大值为
8.我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，小明利用上述方法，根据判断是位数，则为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点，，的面积为，为原点，双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是复数单位，化简的结果为______．
11.在的二项展开式中，含的项的系数是______用数字作答
12.轴，轴上的截距分别为，的直线与圆：交于、两点，则的值为______．
13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒个盲盒内人物一定不同，求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率______；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为______．
14.哪吒的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为______；若点为线段上的动点，则的最小值为______．
15.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在三角形中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求边的大小；
求的值；
求的值．
17.本小题分
在多面体中如图所示，底面正三角形边长为，底面，，，，．
求与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离；
的中点为，线段上是否存在点，使得与平面平行，若存在求长度，若不存在说明理由．
18.本小题分
设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，，，．
求数列与的通项公式及；
落在区间之内的项的个数为，．
求，及数列的通项公式；
求．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为．
求椭圆方程及；
证明：；
点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离．
20.本小题分
已知函数，，．
函数在点处的切线方程为，求，的值；
求函数的极值；
函数，若，证明：．
参考答案
1.
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16.解：因为，由正弦定理可得：，可得，
又因为，，
由余弦定理可得，即，
解为；
由可得，，，
由余弦定理可得：，，
所以；
由，
可得，，
所以．
17.解：以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
平面的法向量为，，，
则，则，即，
令，则，又，
设与平面所成角为，
则；
平面的法向量为，，，
则，则，即，
令，则，又，
所以；
因为，设，
因为，
即，
解得，
此时．
18.解：设 ，，由已知，，
所以，所以，
所以，所以又因为，，
所以，所以，所以，所以；
由已知，，，
在此区间内，因为，所以，
即为，
．，所以，
即为，
所以，所以 ，
所以数列的通项公式为．
记，，
，
为，
，
．
19.解：设椭圆的半焦距为，则由已知可得，则椭圆的左焦点为，
又，所以，所以，所以，
所以椭圆的方程为，离心率．
证明：设，则，
所以
．
由可得，所以，
所以当，，三点共线时取最大值，则直线的方程为，
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，
联立，消去得，
则，解得，
所以的方程为或，
则直线与直线的距离为或，
所以椭圆上任意点到直线的最大距离为．
20.解：由切线方程可知，切线斜率为，即．
根据导数公式，将，代入可得，此时，
此时，
将点代入切线方程，可得．
求导可得，令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因此，在处取得最大值，为．
证明：将和代入，可得，
即证，
即，即证，
设，即，
所以易知在单调递减，在单调递增，
所以，
即，
，
，
由第二问知极大值为，
所以．
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