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2025年宁夏银川一中高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若方程在区间上恰有个实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的上四分位数为
B. 若随机变量，则
C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D. 已知某个数据的平均数为，方差为，现又加入一个数据，此时这个数据的方差为
10.已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为 B.
C. D.
11.如图，曲线过坐标原点，且上的动点满足到两个定点，的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
C. 周长的最小值为
D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为______．
13.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为______．
14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号，，，，，，的卡片各张，两人轮流从中不放回的随机抽取张卡片，直到其中人抽到的卡片编号之和等于或者所有卡片被抽完时，游戏结束若甲先抽卡，求甲抽了张卡片时，恰好游戏结束的概率是______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期及其单调递增区间，
Ⅱ若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．
16.本小题分
已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距．
求椭圆的方程；
若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．
求证：；
是否存在实数，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
若，求的单调区间；
当时，求证；
若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：Ⅰ函数，
函数的最小正周期为；
由，，可得，
即有的单调递增区间为，；
Ⅱ若为锐角的内角，且，
可得，由，可得，
则，即，，
设，，由，，
可得，即有
由正弦定理可得，
即有，，
则面积为

16.；
．
17.解：证明：连接，因为，，
则四边形为菱形，所以，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
取线段的中点，连接，
在菱形中，，则，故为等边三角形，
因为为的中点，则，且平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，则，
，
记平面的法向量，
则，则，
取，则
易知平面的一个法向量为，
由题意，
整理可得，即，
因为，解得或．
18.
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