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江西师范大学附属中学2025届高三下学期三模数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于的学生所占的百分比为参考数据：，，
A. B. C. D.
5.某银行大额存款的年利率为，小张于年初存入大额存款万元，按照复利计算年后他能得到的本利和约为单位：万元，结果保留一位小数
A. B. C. D.
6.在中，角，所对的边长分别为，、则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为
C. 在上存在点，使得 D. 在上存在点，使得平面
8.椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上第一象限内的一点，且，与轴相交于点，离心率，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，方程有个实根
C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立
11.“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值则下列说法正确的是参考数据：
A. 若，则的方程为
B. 若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上
C. 若，点在上，则
D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项是 ．
13.已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 ．
14.如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角所对的边分别为，，，的外接圆半径为，，且．
求的值；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
甲乙两人进行投篮比赛，甲先投次，然后乙投次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲乙投进的次数相同，则甲乙需要再各投次称为第次投篮，结束比赛，规定次投篮投进次数多者为胜，若次投篮甲乙投进的次数相同，则判定甲乙平局已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立．
求甲乙需要进行第次投篮的概率；
若每次投篮投进得分，否则得分，求甲得分的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图，在平面图形甲中，，，与分别为以斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿向上翻折使边重合重合于，连图乙中，为中点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
如图，四边形为坐标原点是矩形，且，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为．
试证明点在同一个椭圆上，求出该椭圆的方程
已知点是圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别是，，求面积的取值范围．
注：椭圆上任意一点处的切线方程是：．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
当时，判断函数在区间上的单调性；
令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
求证：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
可得，所以，
又由正弦定理，可得，
即，所以，
可得或，即或舍去，
因为，可得，
所以．
解：由可得，，
则，
又由正弦定理得，
令，，，其中，
则，解得，
因此的周长为．

16.设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件，
则，．
设甲、乙需要进行第次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件：
“甲、乙前次都投进次”，其概率为，
“甲、乙前次都投进次”，其概率为，
“甲、乙前次都投进次”，其概率为．
则由互斥事件的概率加法公式，可得．
由题意可得的所有可能取值为，，，，
，
，
提示：此时有三种情况，甲前次投进次，乙前次投进次或次；
甲、乙前次均投进次，第次甲未投进；甲、乙前次均未投进，第次甲投进
，
．
所以的分布列为：
所以．

17.图乙中，由题意知，所以，
，平面，所以平面；
取中点为，由于为中点，
故且，结合，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，而平面，平面，
故平面
在等腰梯形中，设，
过作，则所以，
在中，由余弦定理得，所以，所以，
如图以分别为轴建立空间直角坐标系：
，
设平面法向量为，则
即，令，则，则，
平面法向量可取为，
设平面与平面夹角为，
所以，故

18.解：设，又，，
则直线，
直线，
点的坐标是方程的解，可得，
化简得，
所以在同一个椭圆上，该椭圆方程为．
设，，，则，
切线方程为：，切线方程为：，两直线都经过点，
所以得：，，从而直线的方程是：，
当时，
由得，则
当时，
由，消得：，
由韦达定理，得：，，
，
，
点到直线的距离，
其中
令，则
令，
则，
在上单调递增，
综上所述，面积的取值范围是．

19.解：时，．
显然，在区间上单调递增．
所以，即．
所以在区间上单调递减．
在上存在极值．
即在上有变号零点．
令，则．
记，即与的图像在上有交点．
．
易知在上恒成立，所以在上为增函数，
且．
所以，从而．
当时，存在唯一实数，使得成立，
当时在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以为函数的极值，
综上，若函数在上存在极值，的取值范围为．
当时，要证，
即证．
令，显然．
令，
当时，；当时，．
所以在时单调递减；在时单调递增．
所以
所以，即．
所以时，，得证．

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