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江西省鹰潭市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，若为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.在年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中。在区块链技术中，若密码的长度为比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算。现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为比特的密码所需要的最长时间约为参考数据：，
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
5.若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为( )
A. B. C. D.
6.年春节期间，有封神哪吒神雕英雄传唐探五部电影上映，小李和另外名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影哪吒且人中恰有人看同一部电影的不同排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则边上的高的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 图象的一个对称中心为
C. 当函数取得最大值时，，
D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
10.已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 四面体外接球的表面积为
C. 若，则异面直线与所成的角为
D. 若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最大值为
11.若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则( )
A. B. 是偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式的展开式中，二项式系数之和为，则含的项的系数为 ．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，面积的最大值为 ．
14.若为一个有序实数组，其中，表示把中每个都变为，，每个都变为，，每个都变为，所得到的新的有序实数组，例如：，则定义，，若，中有项为，则的前项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求函数在处的切线方程；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
16.本小题分
如图，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图所示．
求证：；
在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？
若存在，求出的值：若不存在，说明理由．
17.本小题分
为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．
设参加会议的专家代表共名，求的分布列与数学期望．
为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数．
附：极大似然估计即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当时，概率取得最大值，则的估计值为
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为，其内切圆的半径为．
求椭圆的标准方程；
若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为
(ⅰ)若，求出的值；
(ⅱ)设直线与轴交于点，求的面积的最大值．
19.本小题分
对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．
已知，，求，，，；
已知，若，且对恒成立，求的取值范围；
已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，而，，
所以在处的切线方程为：
由题意得：恒成立，
因为，所以问题等价于在时恒成立，
令，，，
当时，，为增函数；当时，
，为减函数，则函数，故．

16.解：在图连接交于点，在图中，易知、都是等边三角形，易得，，
又，，平面，可得平面；
又直线平面，所以．
解法一：假设存在点，符合题意．设，则，
则在中，由，，由余弦定理得，
由得直线平面，又，直线平面，平面，
平面平面
作，垂足为，则平面，
在，由，，所以
如图，取中点，连接，由，，得四边形为平行四边形，
因为平面，所以平面，
则直线与平面所成角为，且．
由已知，即，由，得
在中，设，由余弦定理得
即，解得或
所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或
解法二向量法设，则，则在中，由，，
由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，，
如图，以的中点为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，
因此，，
设平面的法向量为，
则
解得，令，则；即向量，
设存在点，，满足题意，则，
所以，
设直线与平面所成角为，则，所以
所以，解得，
所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或

17.解：的可能取值为，
则，，，
则的分布列为
．
设食品监督管理部门邀请的代表记为集合，卫生监督管理部门邀请的代表为集合，则收到两个部门邀请的代表的集合为．
设参加会议的群众代表的人数为，则．
设，则，
，，
，
同理：，
令，得，
即，解得，
又，所以，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为．

18.解：由题意知，则，
又，，
又，，解得，，，
所以椭圆的方程为．

设直线的方程为，其中，且，即，
设直线与椭圆交于点，，
联立方程组整理得，
，
所以，，
，
即，
(ⅱ)法一：直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故联立方程组整理得，
解得或舍，，
所以的面积
，
由(ⅰ)可知，，故，代入上式，
所以，
因为点在轴下方且不在轴上，故或，得，
所以，
显然，当时，，当时，，
故只需考虑，令，则，
所以，
当且仅当，，即时，不等式取等号，
所以的面积的最大值为．
法二：直线的方程为，令，得，故，设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故，
由(ⅰ)可知，，故，所以点是线段的中点，
故的面积，
其中为点到直线的距离，
思路 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立方程组整理得，
据，解得正舍，
所以平行直线与直线之间的距离为
，即的最大值为，
所以的面积的最大值为．
思路 因为直线的方程为，所以，
因为在椭圆上，故，设，，不妨设，
所以，
当，，时，，
即的面积的最大值为．


19.解：因为，，
所以，；
由题意，则，
又因为，所以．
综上可知，，，，．
若，则
．
，
因为，所以，即，故数列递增，
所以要使对恒成立，
则必有，即
所以，解得；
故是对恒成立的必要条件．
下面证明充分性：若，即，又，即，
又，故成立；
由，又递增，，
则，故；
故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件．
综上所述，要使对恒成立，
则的取值范围为．
由，即则为等差数列，又得．
所以，
因为，
且，
可得
．
由，得，则，则
，即，且，
得，所以．

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