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2025年广东省深圳市宝安区高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知，椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.从集合中随机取出个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是的概率为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则( )
A. B. C. D.
7.已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足：，，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下选项正确的是( )
A. 若，，则的充要条件是，
B. 若复数，，满足，则
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
10.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线设双曲线：的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线：的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是( )
A. B. 点是的一个顶点
C. D.
11.欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数只有公因数的两个正整数互质，且与所有正整数包括本身互质，例如，因为，，，均与互质，则( )
A. B. 数列单调递增
C. D. 数列的前项和小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将分别标有数字，，，，的个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为______．
13.某统计数据共有个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的百分位数是，则它们的平均数为______．
14.下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______写出对应编号
；
；
；
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，的平分线与交于点，：：：：．
求；
若，求的值．
16.本小题分
在直三棱柱中，，，为平面与平面的交线，为直线上一点．
若，求的面积；
若平面与平面夹角的余弦值为，求．
17.本小题分
已知函数．
若时，求曲线在处的切线方程；
若时，在区间上的最小值为，求实数的值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，直线：与相交于，两点．
求直线被圆：所截的弦长；
当时，．
求的方程；
证明：对任意的，的周长为定值．
19.本小题分
已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列
求，，的值；
记为数列的前项和，求使得成立的的最小值；
从数列的前项中每次随机抽取一项，有放回地抽取次，设这次抽取的项互不相同的概率为，证明：．
附：不等式，且的推广式均大于，且不全相等成立．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：在中，由题意得：：：：，
设，则，，
则由余弦定理得，
因为是的平分线，
所以，，
由二倍角公式得；
由知，易得，
所以，
由余弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，，
由余弦定理得，
因为，所以，
由正弦定理得．
即的值为．
16.解：因为，，，所以为等边三角形，
所以，
在直三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，所以，
又，，
所以．
如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
所以，
因为是平面的法向量，
所以，
解得，
所以．
17.解：时，，，且，
，
故切线方程为，即；
，，
由，存在，使得，即，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，
令，，
在上单调递减，
易知，所以．
18.解：圆：的圆心，半径，
所以到直线：的距离，
所以直线被圆：所截的弦长为，
由题意可得，
所以所求的弦长为；
当时，则直线的方程为，
代入椭圆的方程可得，，
即，
因为弦长，
可得，即，
而，
可得，，
所以椭圆的方程为：；
(ⅱ)证明：当时，由知，的周长为，
当时，设，，
与联立，并消去，
得，
整理得，
所以，
，
所以，
又时，，所以，
又，
因为，所以，同理，
所以，
所以的周长为定值．
19.
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