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2024-2025 学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列{ }中， 1 = 1， 2 = 2，则 4 =( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

2.已知函数 ( ) = 2 ，则 → 0 (1+ ) (1) =( )
A. 22 B.
2
2 C. 2 2 D. 2
3.已知 ， ∈ { 1,1,2,3}，若直线 ： + = 4 与圆 2 + 2 = 4 没有交点，则满足条件的直线 有( )
条．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知函数 ( ) = ( 2 + )的极小值点大于 1，则实数 的取值范围是( )
A. ( 3, + ∞) B. ( ∞,1) C. ( ∞, 3) D. (0, 3)
2
5.已知函数 ( ) = ln| | + 2 + 2 ， = ( 3)， = (1)，则 ， 的大小关系为( )
A. < B. > C. = D.无法确定
6.已知函数 ( )的定义域是 ，满足 ( ) = (2 )， ( ) + (4 + ) = 0，函数 ( )的导函数 ′( )在
上总有意义，则 ′(5) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
7.已知{ }是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的两项为 14，26，则{ }的公差不可能为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知函数 ( ) = 1 与 ( ) = 的图象上存在关于直线 = 对称的点，则 的值不可能是( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.( + 2 ) 的展开式中二项式系数和为 512，下列说法正确的是( )
A.展开式共 10 项 B.含 3项的系数为 2016
C.无常数项 D.只有第 5 项的二项式系数最大
10 ( ) = .已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. = 是函数 ( )定义域内的极小值点
B.函数 ( )的单调减区间是(0, )
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C.若函数 ( ) = ( ) 有零点，则实数 ≥
D. ( )在定义域内既无最大值又无最小值
11 1.数列{ }的通项公式为 = (1 + ) ，下列说法正确的是( )
A. (1 + 1 )
的二项展开式第 + 1 项为 +1 =
1

B.数列{ }单调递增
C.数列{ }有最大项
D. [ ]表示不超过 的最大整数，数列{ }的前 项和为 ，若 = [ ]，则 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.椭圆 ： 25 + 9 = 1 的两个焦点为 1， 2，椭圆 上有一点 ，则△ 1 2的周长为______．
13.书架共 4 层，将 3 本不同的书放在书架上，则恰有 3 层书架上有书的放法有______种.
14.直线 ： + + 1 = 0 与曲线 ： ( ) = 3 + 3 2 + 3 相交，且满足曲线在交点 ， 处的切线始终平
行，则 2 + 2的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
数列{ }的首项 1 = 1，{
1
}的前 项和为 ，且满足 2 +1 ( + 1) 2 ( + ) = 0．
(1) { 证明：数列 }是等差数列；
(2)若 =
1 1
2 2 ，求数列{ }的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为正方形，边长为 2，侧棱 1 = 3， 、 分别为 1 1、 1 1
的中点， 、 分别是 1 1、 1 1的中点．
(1)求证：直线 //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知抛物线 2 = 2 上一点 (2, 0)到抛物线焦点 的距离为 2．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点 的坐标为(0, 1)，若过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，证明：直线 平分∠ ．
18.(本小题 17 分)
有甲乙在内的 4 个人传球，每人接球后传给别人为一次传球.现由甲发球，经过 ( ≥ 2)次传球后，球回到
甲手中的不同传球方法数记为 ．
(1)求 2， 3；
(2)经过 ( ≥ 2)次传球后，球没有回到甲手中的不同传球方法数记为 ，请用 表示 +1；
(3)写出 和 +1满足的关系式，并求数列{ }( ≥ 2)的通项公式．
19.(本小题 17 分)
( ) = 2 + 1， ≥ 1．
(1)若函数 ( )的图象始终不在 ( ) = 2 4 + 6 上方，求 的取值范围；
(2)若 > 0，求 ( )的单调区间；
(3)当 = 1 ( ) = 1，方程 有两根 1， 2( 1 ≠ 2)，证明：| 1 2| > 2 + 4．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.24
14.(1, + ∞)
15.解：(1)证明：由 +1 ( + 1)
1 2 1
2 ( + ) = 0，得 +1 ( + 1) = 2 ( + 1)，
1
所以 +1 +1 = 2，又 1 = 1，故
1
1 = 1，
所以{ }
1
是以 1 为首项，以2为公差的等差数列；
(2)由(1) 可知 = 1 2+ 1 =
1
2 +
1 1 1
2，所以
2
= 2 + 2 ，
当 = 1 时， 1 = =
1 + 11 2 2 = 1，
1 1 1
当 ≥ 2 时， = 2 2 1 = 2 + 2 ( 2
1
2 ) = ，
又 1 = 1 满足上式，所以 = ，
= 1 1所以 2 ( +1)2，
1 1 1
所以 = 1 22 + 22 32 + . . . +
1 1 1
2 ( +1)2 = 1 ( +1)2．
16.解：(1)证明：连接 1 1，
因为 ， 分别为 1 1， 1 1的中点，且 ， 分别是 1 1， 1 1的中点，
所以 // // 1 1，又 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ；
(2)如图所示，建立空间直角坐标系 ，
则 (2,0,0)， (2,1,3)， (1,0,3)， (0,2,0)，
所以 = ( 2,2,0)， = ( 1, 1,0)， = ( 1,0,3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= = 0
则 ，取 = (3, 3,1)，
= + 3 = 0
所以直线 与平面 所成角的正弦值为：
|cos < > | = |
|
， = 12 3 38
| || | 2 2× 19
= 19 ．
17.解：(1)因为点 在抛物线上，
所以 (2, 2 )，
因为点 (2, 2 )到抛物线准线 = 2的距离为 2，
2
所以 ( 2 ) = 2，
解得 = 2，
则抛物线的方程为 2 = 4 ；
(2)证明：因为 (0,1)，
所以 // 轴，
要证直线 平分∠ ，
需证 + = 0，
当直线 斜率不存在时，
此时直线 与抛物线只有 1 个交点，不符合椭圆；
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所以直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 1
联立 2 2 = 4 ，消去 并整理得 4 + 4 = 0，
此时 = 16 2 16 > 0，
解得 > 1 或 < 1，
由韦达定理得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
1 1 ( 1)+ ( 1)
此时 1 2 2 1 1 2 + = + =1 2 1 2
= 2( 1 2)+ 1( 2 2) = 2
2( 1+ 2) 8
1 2 1
= 2
2 4
= 0．
则直线 平分∠ ．
18.解：(1)经过 1 次传球后，球在除了甲以外的 3 人乙、丙、丁手中，经过 2 次传球后，
乙、丙、丁三人都可能传到甲手中，则 2 = 3，同理， 3 = 3 × 2 = 6；
(2) +1表示经过 + 1 次传球后，球回到甲手中的不同传球方法数，经过 + 1 次传球后，
球回到甲手中，说明第 次传球后，球一定不在甲手中，即 +1 = ；
(3)4 人传球，经过 次传球后的传球方法数一共有3 ，经过 次传球后，
球回到甲手中的不同传球方法数记为 球没有回到甲手中的方法数为 ，则 + = 3 ．
因此 + = + +1 = 3 ，由 = + 3 ，两边同除( 1) +1

得： +1

+1 ( 1) +1 = ( 1) ( 3) ，
当 ≥ 3 ，有 1 1( 1) = ( 1) 1 ( 3) ，

利用累加法： ( 1) = ( 1)
+1 +1 +2 3 2 1
( 1) +1 + ( 1) +1 ( 1) +2 + . . + ( 1)3 ( 1)2 + ( 1)2
= [( 3) 1 + ( 3) 2 + . . + ( 3)2] + 2，又因为 2 = 3，
2
所以 ( 1) = [( 3)
1 + ( 3) 2 + . . + ( 3)2] + 3 = 9[1 ( 3) ]+ 3 = ( 3) +31 ( 3) 4 ．

所以， = 3 +3×( 1) 4 ( ≥ 3)
3 +3×( 1)
，当 = 2， 2 = 3 满足上式，所以 = 4 ( ≥ 2)．
2
19.解：(1) 2 + 1 ≤ 2 4 + 6 5 +7，即 ≤ 2 ，
2
令 = 2 ∈ ( ∞,1] + +1，则 ≤ ，
2
令 ( ) = + +1 ∈ ( ∞,1]，
( ) =
2+ ( 1)
′ = ，
令 ( ) > 0，可得 ∈ (0,1)，令 ( ) < 0，可得 ∈ ( ∞,0)，
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所以 ( )在 ∈ ( ∞,0)单调递减，在 ∈ (0,1)单调递增，
所以 ( ) = (0) = 1，则 ≤ 1，
所以 的取值范围是( ∞,1]．
(2) > 0， ′( ) = 2 + 1 为增函数，由 ( ) = 0 得 = 2 + ，
1
①当 2 + > 1，即 ∈ ( , + ∞)时， ( )在(1,2 + )上单调递减，在(2 + , + ∞)上单调递增：
②当 2 + ≤ 1 1，即 ∈ (0, ]时， ( )在(1, + ∞)单调递增．
1
综上，①当 ∈ ( , + ∞)时， ( )的单调递减区间是(1,2 + )，单调递增区间是(2 + , + ∞)；
②当 ∈ (0, 1 ]时， ( )的单调递增区间是(1, + ∞)，无单调递减区间，
(3)证明：由(2)知， ( )在(1,2)单调递减，在(2, + ∞)上单调递增．
( ) = 的方程有两根 1， 2( 1 ≠ 2)，
即函数 = 与函数 = ( )有两不同交点，横坐标分别为 1， 2( 1 ≠ 2)，
可知 1 < 1 < 2 < 2，2 < ≤ ，
设函数 = 与函数 = ( )的两不同交点横坐标分别为 3， 4，且 3 < 4，
由(1)可知，当 = 1， ( ) = 2 + 1 ≤ ( ) = 2 4 + 6，当且仅当 = 2 时“=”成立．
因为 ( 1) < ( 1)， = ( 1) = ( 3)，
所以 ( 3) < ( 1)，
因为 = ( )在(1,2)单调递减，又 1 < 3，
同理可得 4 < 2，
所以| 1 2| = 2 1 > 4 3③，
因为 3， 4为方程 = 2 4 + 6 的两根，即 2 4 + 6 = 0，
+ = 4,
所以 3 4 3 4 = 6 ,
4 3 = ( 3 + 4)2 4 3 4 = 4 8，2 < ≤ ．
因为 4 8 ( 12 + 4) = 4( 2) +
1
2 4 ≥ 2 4( 2) ×
1
2 4 = 0，
所以 4 8 ≥ 1 12 + 4 则 4 8 ≥ 2 + 4，
1即 4 3 ≥ 2 + 4，④
1
由③④得| 1 2| > 2 + 4．
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