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2024-2025 学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 ( ) ( + ) ( )在 = 0处存在导数为 2，则 lim 0 0 →0 4 =( )
A. 1 B. 2 C. 12 D.
1
4
2.一批产品共有 7 件，其中 4 件正品，3 件次品，现从 7 件产品中一次性抽取 3 件，设抽取出的 3 件产品
中次品数为 ，则 ( = 1) =( )
A. 12 18 3 535 B. 35 C. 14 D. 14
3 ( 1. 10 ) 的展开式中常数项是( )
A. 225 B. 252 C. 252 D. 225
4.稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提
高生产效率起到了巨大的作用.右表是 2024 年前 5 个月某国稀土出口均价 (单位：万元/吨)与月份 的统计

数据.若 与 的线性回归方程为 = 0.12 + 2.2，则 的值为( )
1 2 3 4 5
1.7 2.4 2.0 1.6
A. 1.4 B. 1.5 C. 1.6 D. 1.7
5.函数 ( ) = 3 + 2 + + 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A. < 0， < 0， < 0， > 0
B. < 0， < 0， > 0， > 0
C. < 0， > 0， < 0， > 0
D. > 0， > 0， > 0， > 0
6.已知(2 )2025 = 0 + 1( + 1) + ( + 1)22 + + 20252025( + 1) ，则| 0| + | 1| + + | 2025| =( )
A. 22025 B. 24050 C. 1 D. 0
7.已知定义在 上的函数 ( )，其导函数为 ′( )，且满足 ( ) + ′( ) < 0，则不等式 ( 2) > ( )的
解集是( )
A. ( ∞,0] B. ( 1,0] C. ( ∞,1) D. [0,1)
8.依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正六面体骰子两次，设事件 =“第
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一次出现的点数是奇数”， =“第一次出现的点数是 1”， =“两次的点数之和为奇数”， =“两次
的点数之和为 7”，则下列结论错误的是( )
A. 与 相互独立 B. 与 相互独立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.从 50 个个体中随机抽取一个容量为 30 的样本，则每个个体被抽到的概率为 0.6
B.两个变量相关性越强，则相关系数 越接近 1
C.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好
D.已知随机变量 ～ (2, 2)，且 ( < 4) = 0.8，则 (0 < < 4) = 0.6
10.一只口袋中装有形状、大小都相同的 6 个小球，其中有红球 1 个，白球 2 个，黑球 3 个，分别从中用
两种不同方式摸出 3 个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则( )
A. 1按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为8
B. 3按方式一，设摸出黑色球的个数为 ，则方差 ( ) = 4
C. 6按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出 2 黑 1 白的概率为13
D. 11若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出 2 黑 1 白的概率为20
11.已知直线 = 与曲线 = 相交于不同两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，曲线 = 在点 处的切线与在点
处的切线相交于点 ( 0, 0)，则( )
A. 0 < < 1 B. 1 2 为定值0
C. 1 + 2
1 2
0为定值 D. 1 2 < 1 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( + 2 )7的展开式中 5 2项的系数为______．

13 2 1 3.设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 3， ( ) = 2， ( + ) = 4，则 ( | ) = ______．
14.已知 > 0，若不等式 +1 2 ≥ 对任意实数 恒成立，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
在二项式( 4 1) 的展开式中，已知第 3 项与第 8 项的二项式系数相等．
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(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
16.(本小题 15 分)
甲、乙两家公司到某大学进行招聘，通过对毕业生进行笔试、面试、模拟演练这三项程序后直接签约一批
毕业生.已知三项程序分别由三个部门独立依次考核，且互不影响，当三项程序全部通过即可签约.假设该大
学 100 名毕业生参加甲公司招聘的具体情况如下表(不存在通过三项程序考核后放弃签约的现象)．
性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生 20
女生 50
合计 30 100
1
该校的小张准备参加两家公司的招聘，小张通过甲公司的每项程序的概率均为2，通过乙公司的每项程序的
1 2
概率依次为2， ，3，其中 0 < < 1．
(1)完成 2 × 2 列联表，根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，判断这 100 名毕业生参加甲公司的招聘能
否签约与性别是否有关；
(2)若小张通过甲、乙两公司程序的项数分别记为 ， .当 ( ) = ( )时，求小张参加乙公司招聘并能成功
签约的概率．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.100 0.050 0.025 0.001
2.706 3.841 5.024 10.828
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2．
(1)证明： ( )在定义域上不存在极值；
(2)若 ( ) ≥ + 1 在 ∈ [0, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知某商店出售商品 ，据统计分析，发现顾客对商品 的需求量相对稳定，每周内对商品 的不同需求量(单
位：个)与概率的数据如下：
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对 的需求量 0 1 2 3
1 1 1 1概率
8 2 4 8
若以商品 的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品 进行盘点存货：如果商品 都售
出了，则在周末及时采购 2 个新的商品，只要商品 还有 1 个存货，就不采购新的商品.记 为该商店第
周开始时商品 的供给量，假设 1 = 2．
(1)求 3的分布列；
(2)记 = ( ( = 1), ( = 2))为第 周开始时供给量 的概率向量，随着 的增大，若 +1 = ，则
趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为 ．
( )求商品 的定常态分布 ；
( )从长远来看，求该商店改善经营后商品 需求大于供给的概率．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 2 + ( > 0)．
(1)讨论 ( )的单调性；
2
(2)证明：(1 + 122 )(1 +
1 1 1
32 )(1 + 42 )…(1 + 2 ) < 3( ∈ , ≥ 2)；
(3)若函数 ( ) = 2ln2 1 + 2 有三个不同的零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.84
13.58
14.2(1 2)
15. 1解：已知二项式( 4 1) 的展开式中，第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，
(1)由题意有 2 = 7 ，所以 = 9，
9
所以 +1 =
1 9
9( 4 ) × ( 1) = 9( 1)
4 ，
5 5
所以系数最大项为 = 4 5 9 4 = 126
4，
9
(2) 9由 +1 = 9( 1) 4 有 4 ∈ ，所以 = 1，5，9，
所以展开式中的有理项为 2 = 1 1 2 2 5 5 1 1 9 9 09( 1) = 9 , 6 = 9( 1) = 126 , 10 = 9( 1) =
1．
所以有理项为： 9 2； 126 1； 1．
16.解：(1) 1 1根据题目：小张通过甲公司的每项程序的概率均为2，通过乙公司的每项程序的概率依次为2， ，
2
3，其中 0 < < 1．
可得 2 × 2 列联表如下
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性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生 20 20 40
女生 50 10 60
合计 70 30 100
2
所以 2 = 100(20×10 20×50) 80040×60×70×30 = 63 ≈ 12.698 > 10.828，
所以根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，这 100 名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别有关；
(2)因为小张通过甲公司各程序的结果相互不影响，
1
所以 ～ (3, 2 )，则 ( ) = 3 ×
1 = 32 2，
依题意 的可能取值为 0，1，2，3．
( = 0) = 1 × 1 × (1 ) = 1 所以 2 3 6 ，
( = 1) = 1 × 22 3 (1 ) +
1
2 ×
1 (1 ) + 1 × 13 2 3 =
3 2
6 ，
( = 2) = 1 22 × 3 (1 ) +
1 × 2 + 1 × 1 2+ 2 3 2 3 = 6 ，
( = 3) = 1 × 2 2 3 = 3，
所以随机变量 的分布列：
0 1 2 3
1 3 2 2+
6 6 6 3
1 3 2 2+ 7
所以 ( ) = 0 × 6 + 1 × 6 + 2 × 6 + 3 × 3 = 6 + ，
3 7 1
因为 ( ) = ( )，所以2 = 6 + ，即 = 3，
1
所以小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率 = ( = 3) = 3 = 9．
17.解：(1)证明： ′( ) = 2 ，
令 ( ) = ′( ) = 2 ，则 ′( ) = 2，
所以当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) = ( 2) = 2 2 2 = 2 2 2 = 2(1 2) > 0，
所以 ( ) = ′( ) = 2 > 0 恒成立，
所以 ( )在 上单调递增，故不存在极值．
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(2)因为 ( ) ≥ + 1 在[0, + ∞)上恒成立，
所以 2 1 ≥ 0 在[0, + ∞)上恒成立，
当 = 0 时，0 ≥ 0 恒成立，

当 > 0 1时， ≤ ( + )在(0, + ∞)上恒成立，

令 ( ) = ( +
1
)， ∈ (0, + ∞)，
2
则 ′( ) = ( 1) 1 2 ( 2 ) =
( 1)[ ( +1)]
2 ，
令 ( ) = 1，则 ′( ) = 1，
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 > 0 时， ( ) > (0) = 0，即 ( + 1) > 0，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以当 = 1 时， ( ) = 2，
综上可知，实数 的取值范围是( ∞, 2]．
18. 1解：(1)由题意 ∈ {1,2}，第 2 周开始时商品 不同供给量的概率为 ( 2 = 1) = 2， ( 2 = 2) = 1
( 12 = 1) = 2，
第 3 周开始时商品 供给量的概率为 ( 1 = 1) = ( 3 = 1| 2 = 1) ( 2 = 1) + ( 3 = 1| 2 = 2) ( 2 =
2) = 1 × 18 2 + (
1 + 1+ 1 ) × 1 58 4 8 2 = 16，
( = 2) = 1 ( = 1) = 113 3 16．
第 3 周开始时商品 的供给量分布列为：
3 1 2
5 11
16 16
(2)( )记 为商品 第 周内的需求量，由题意， 与 的状态有关，
当 ≥ 1 时，若 < ，则 +1 = ，若 ≥ ，则 +1 = 2，
设 = ( , 1 )，即 ( = 1) = . ( = 2) = 1 ，
由全概率公式可得 ( +1 = 1) =
1 1 1 1
8 ( = 1) + 2 ( = 2) = 8 + 2 ．
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( 7 1 +1 = 2) = 1 ( +1 = 1) = 8 + 2 ，
由 +1 =
1
，得8 +
1
2 = ,
7 1 4 4 7
8 + 2 = 1 ，解得 = 11，故 = ( 11 , 11 )．
( ) ( ) 4 7由 可知，定常态分布 = ( 11 , 11 )，所以从长远来看，
( = 1) =
4
11， (
7
= 2) = 11，
记商品 需求大于供给的概率为 ( > )，
由全概率公式得 ( > ) = ( > | = 1) ( = 1) + ( > | = 2) ( = 2)
= 3 × 4 1 7 198 11 + 8 × 11 = 88．
19.解：(1)函数 ( )定义域为(0, + ∞)，
2 1 2+2 1
因为 ′( ) = 1 2 = 2 ，
设 ( ) = 2 + 2 1，则 = 4( 2 1)，
①当 0 < ≤ 1 时， ≤ 0， ′( ) ≤ 0 恒成立，且至多一点处为 0；
②当 > 1 时， > 0， ( )有两个零点 1 = 2 1， 2 = + 2 1，
所以当 0 < < 1时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0；当 1 < < 2时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0；
当 > 2时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0．
综上所述：当 0 < ≤ 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 1 时， ( )在(0, 1)，( 2, + ∞)上单调递减，在( 1, 2)上单调递增；
(2) (1) 1证明：由 知当 = 1 时， ∈ (1, + ∞)时， ( ) = 2 + < (1) = 0，
1 1
所以 < 2 2 ，令 = 1 + 2 ( ∈ , ≥ 2)，
1 1 1 1 1
则 ln(1 + 2 ) < 2 (1 + 2 ) 1 = 2 (
1
2+1+
1 1 1
2(1+ ) 2
) < 2 < 22
1
4
= 1 1 ，
12 +
1
2
ln(1 + 1 122 ) + ln(1 + 32 ) + ln(1 +
1
42 ) + + ln(1 +
1
2 )
< ( 1 1 ) + ( 1 1 ) + + ( 1 1 )
2 12 2+
1
2 3
1
2 3+
1 1 +12 2 2
= 2 1 23 1 < 3， +2
2
所以(1 + 122 )(1 +
1
32 )(1 +
1
42 ) (1 +
1
2 ) < 3；
2
(3) ( ) = 2ln2 1 + 2 =
2ln2 ( 1) = (
1 1
)( + )，
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1
因为 与 1 同号，所以 = + 只有一个零点 = 1，
令 = ，由 (1) = 0，则 ( )有三个不同的零点等价于函数 ( )有三个不同的零点，
由(1)知：当 0 < ≤ 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减，不合题意；
当 > 1 时，因为 (1) = 0，且 1 2 = 1，所以 1 < 1 < 2，所以 ( 1) < (1) = 0 < ( 2)，
由(2)知， > 1 时， < 2
1
2 ，
1
所以 ln < 2 2 ，即 <
1
，
2
所以 (4 2) = 2 (4 2) 4 2 + 1 < 2 (2 1 ) 4 2 + 1 1 4 4 2 2 4 2 = 4 2 < 0，
所以由零点存在性定理知， ( )在区间( 22, 4 )上有唯一的一个零点 0，
因为 ( 10) + ( ) = 2 0 +
1
0 + 2
1 1
0 0

0
+ 0 = 0，
0
因为 ( 0) = 0
1
，所以 ( ) = 0，0
所以 > 1 时， ( ) 1存在三个不同的零点 ，1， 0，0
故实数 的取值范围是(1, + ∞)．
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