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2024-2025 学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1(1 )2，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
2.已知 tan( + ) = 3，tan( ) = 2，则 2 =( )
A. 1 B. 7 C. 1 D. 77 24
3.在△ 中，点 在线段 上，且 = 3 ， 是线段 的中点，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 1 C. 1 + 1 1 1 3 6 3 6 3 6 D. 3 6
4 △ 4.在 中， = 8, = 10, sin∠ = 5，则△ 的面积为( )
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
5.已知 ∈ (0, )，sin( 3 ) = 2+ 3 2 4 ，则 sin 2 =( )
A. 3 1 3+1 3 1 3+14 B. 4 C. 8 D. 8
6.设向量 ， 是非零向量，且| | = 2| |，向量 在向量 上的投影向量为 2 ，若( + ) ⊥ ( )，则实
数 的值为( )
A. 1 12 B. 3 C.
2
3 D. 2
7.如图，在 处(点 在水平地面 下方)进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点 ， 相距 100
米，∠ = 60°，其中 到 的距离比 到 的距离远 40 米.在 地测得最高点 的仰角∠ = 30°( 为
与水平地面 的交点)，在 地测得该仪器在 处的俯角∠ = 15°，则该仪器的垂直弹射高度 为( )
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A. 210( 6 + 2)米 B. 140 6米
C. 210 2米 D. 20( 6 2)米
8.记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 6, ( ) + 2 3 = ，
则 边上的中线 长度的最小值为( )
A. 12 B.
2
2 C. 2 D. 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 , , 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ ，则| + | = | |
B.若| | = | |，则( + ) ⊥ ( )
C.若 = ，则 与 垂直
D. ( ) = ( )
10.已知△ 中角 ， 4 3， 所对的边分别为 ， ， ，满足 2 + 2 2 = 3 △ ，则下列条件能使△
成为锐角三角形的是( )
A. = 4 B. = 2， = 3 C. = 2， = 3 D. = 3， = 2
11.已知函数 ( ) = cos4 + sin2 ，则下列说法正确的是( )
A. 是 ( )的一个最小正周期 B. ( )是偶函数
C. ( ) (0, 在 4 )

上单调递减 D. = 8是 ( )图象的一条对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.复数 = 2025(1 ) 为纯虚数，则实数 的值为______．
13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有 160 多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为
测量文峰塔的高度 ，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 10 ，在地面上点 处( , , 三点
共线)测得建筑物顶部 和文峰塔顶部 的仰角分别为 30°和 45°，在 处测得塔顶部 的仰角为 15°，则文峰
塔的高度为______．
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14.已知△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为△ 的外心， = 4， = 5，且有cos2( 2 + ) +
= 5 .若 4 =
+ ，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = + 2 + ( 2) ( ∈ )．
(1)若复数 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 的范围；

(2) 为 的共轭复数，且 + = 6.若 3 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，求该一元二次
方程的另一复数根．
16.(本小题 15 分)
如图，在△ 中，sin∠ + 3cos∠ = 0， = 4， = 2 7．
(1)求 的长；
(2)设 为 边上一点，且 ⊥ ，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在平面直角坐标系中，角 、 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，角 、 的终边与单
位圆分别交 、 两点，点 是单位圆与 轴正半轴的交点．
(1)当 ( 55 ,
2 5
5 )， (
7 2 2
10 , 10 )时，求 sin(2 + )的值；
(2) 1若 为劣弧 上的动点，当点 的横坐标为 时，求 2
最小值．
18.(本小题 17 分)
如图所示， 是△ 的一条中线，点 满足 = 2 ，过点 的直线分别与射线 ，射线 交于 ，
两点．
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(1)求证： = 1 3 +
1
3 ；
(2)设 = ， = ， > 0 1 1， > 0，求 + 的值；
(3)如果△ 是边长为 ( > 0)的等边三角形，求 2 + 2的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在锐角△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足cos2 cos2 = ( ) ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 1，求△ 面积的取值范围；
(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ 的三个内角
均小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点.若△ 的面积为 3，是否在△
内部存在费马点 ，使得 2 为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由．
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参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.1
13.20
14. 320
15.
16.
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17.
18.解：(1)证明：∵ = 2 ，∴ = 2 3 ，
∵ 是 的中点，∴ = 1 2 ( +
)，
∴ = 2 = 1 + 1 3 3 3 ．
(2) ∵ = ， = ， > 0， > 0，
∴ = 1 ， = 1 ，
∵ = 1 + 1 3 3 ，
∴ = 1 + 1 3 3 ，
∵ ， ， 三点共线，
∴ 1 + 1 = 1 ∴ 1 + 13 3 ， = 3．
(3) ∵ = ， = ， > 0， > 0，
1
由(1)(2)知 = 3
+ 1 1 13 ， + = 3，即 + = 3 ，
∵ = = 3 1 13 3
，
= = 3 1 3
1 3 ，
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∴ 2 + 2 = ( 3 13
13
)2 + ( 3 1 1 3 3 )
2
= 1 [(9 2 6 + 2)
2 2
9 + (9
2 6 + 2) 2(3 + 3 2) ]，
∵△ 是边长为 ( > 0)的等边三角形，
∴ 2 + 2 = 2( 2 + 2 + 23 )，
令 = ，∵ 3 = + ≥ 2 4，即 ≥ 9，
4
当且仅当 = 时，等号成立，∴ ≥ 9，
∴ 2 + 2 + 23 = ( + )
2 5 + 23 = 9( )
2 5 + 23 = 9
2 5 + 23，
∵ ≥ 4，∴ 9 29 5 +
2 2
3 ≥ 9，
2
∴ 2 + 2 = 2( 2 + 2 + 2 2 3 ) ≥ 9 ．
2
∴ 2 + 2 2 的取值范围是[ 9 , + ∞)．
19.解：(1)因为cos2 cos2 = ( ) ，
所以(1 sin2 ) (1 cos2 ) = sin2 ，
即sin2 = sin2 + sin2 ，
即 2 = 2 + 2 ，
1
所以 = 2，
因为 (0, 2 )，

所以 = 3．
(2)因为△ 是锐角三角形，又 = 3，所以6 < < 2 , 6 < < 2，
= 又 ，则 = ，
2
则 = 1 = 3
sin( 3 )× = 3 3△ ，2 4 8 + 8
因为 ∈ ( 6 ,
3 1
2 )，所以 ∈ ( 3 , + ∞)，则 ∈ (0, 3)，
从而 3 3△ ∈ ( , )，故△ 面积的取值范围是(
3
8 2 8 ,
3
2 )．
(3) △ 的面积为 3 1 ，所以2 × × sin 3 = 3，所以 × = 4 3，
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设∠ = ，则∠ = 3 , ∠ =

3 ,∠ = ，

在△ 中，由正弦定理得sin = sin( 3 )
= sin ，3
所以 = 2 3 2 3 ，3 ( 3 )． = 3

在△ 中，由正弦定理得sin( 3 )
= sin = sin ，3
所以 = 2 33 (
2 3
3 ), = 3 ，
2 = [sin( 所以 ) (
)] = 0
(sin2 3 )
2 3 3 ．
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