资源简介

2024-2025 学年北京市大兴区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.复数 3的值是( )
A. B. 1 C. 1 D.
2.sin 12 =( )
A. 6+ 24 B.
6 2
4 C. 2 3 D. 2 + 3
3.已知向量 = (1, )， = ( 1, )，且 ⊥ ，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
4.函数 ( ) = 2 + 的最大值是( )
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
5.已知复数 在复平面内对应的点为( 2,1)，则| |2 =( )
A. 3 B. 3 4 C. 5 4 D. 5
6.在△ 中，“ < ”是“ > ”成立的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，在等腰梯形 中， // ， = 4，∠ = 60°， 为 边上
一点，且满足 = 2 ，若 = 4，则 =( )
A. 4 B. 8 C. 4 D. 8
8.设 是坐标原点，单位圆 上一点 ，射线 绕着 点逆时针旋转 后得到 ， 为与单位圆的交点， 的
坐标为( , )，则 的坐标为( )
A. ( + , ) B. ( , + )
C. ( + , ) D. ( , + )
9.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 在正方形 的边界及其内部运动，且满足 1 ≤ 5，
则四面体 1 的体积的最小值是( )
A. 23
B. 43
C. 4 2 23
D. 4 2 2
第 1页，共 9页
10.在△ 中， = 5， = 6，cos = 1， 是△ 的内心，若 = + 5 ，其中 , ∈ [0,1]，
则动点 的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A. 10 6 14 63 B. 3 C. 4 3 D. 6 2
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知 = 12，则 2 = ______．
2+ 12.已知复数 = 1+ ，则 + = ______．
13.如图，梯形 ′ ′ ′ ′是水平放置的平面图形 用斜二测画
法得到的直观图， ′ ′ = 2 ′ ′ = 2， ′ ′ = 1，则在平面图
形 中， = ______；图形 的面积为______．
14.在水流速度大小为 10 / 的河中，如果要使船实际以 10 3 / 大小的速度与河岸成直角横渡，则船
速大小应设定为______ / ；船速设定方向与水流方向成角的大小为______．
15.已知△ 中， = 10， + = 2，若点 是边 上一点， 是 的中点，给出下列四个结
论：
①若( + ) = 0，则| + | = 6；
②若 在 方向上的投影向量为 ，则| | 10的最小值为 4 ；
③若| | = 6 222 ，则| |的最大值为 2 ；
( +

④若 ) = 0，则 ( + )为定值 18．| | | |
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 14 分)
已知复数 21 = ( 2) (2 + 4) ， 2 = ( 2 + 1) ， ∈ ．
(Ⅰ)当 = 0 时，求| 1 + 2|的值；
(Ⅱ)若复数 = 1 2为纯虚数，求 1 2的值．
17.(本小题 14 分)
7 2
已知 sin( + 4 ) = 10 ， ∈ (0,

4 )．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ) 求 tan(2 + 4 )的值．
第 2页，共 9页
18.(本小题 14 分)
在△ 中， = 2 ( + ) ．
(Ⅰ)求∠ 的大小；
(Ⅱ)若 = 8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在，求 边上中线的长．
条件①： = 7 2；条件②： = 3；条件③：△ 的面积为 10 3．
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
19.(本小题 14 分)
已知平面四边形 2 的边长满足 = ， = 1， = 3，且∠ = 3．
(Ⅰ)若 cos∠ = 336 ，求∠ 的大小；
(Ⅱ)若∠ + ∠ = ，求四边形 的面积．
20.(本小题 14 分)
如图，在正四棱锥 中，侧棱 长为 1，记∠ = ，其体积记为 ( )，表面积记为 ( )．
(Ⅰ) 求 ( 3 )的值；
(Ⅱ)求 ( )的解析式，并直接写出 的取值范围；
(Ⅲ)试判断 ( )是否存在最值，并说明理由．
21.(本小题 15 分)
如图，设 ， 是平面内相交成 (0 < < )角的两条射线， 1, 2分别为 ， 同向的单位向量，定义
平面坐标系 为 仿射坐标系.在 仿射坐标系中，若 = 1 + 2，记 = ( , )．
(1)在 仿射坐标系中，
①若 = ( , )，求| |；

②若 = ( 1,2), = ( 2,1)，且 ， 的夹角为3，求 ；
第 3页，共 9页
(2) 如图所示，在3仿射坐标系中， ， 分别在 轴， 轴正半轴上，|
| = 1， = 1 3 ， ， 分别为 ，
中点，求 的最大值．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.34
12.3
13.2 3
14.20 2 3
15.①③④
16.解：(Ⅰ)复数 1 = ( 2 2) (2 + 4) ， 2 = ( 2 + 1) ， ∈ ，
当 = 0 时， 1 = 2 4 ， 2 = ，
则 1 + 2 = 2 5 ，
∴ | 1 + 2| = ( 2)2 + ( 5)2 = 29；
(Ⅱ) = 1 2 = ( 2 2) (2 + 4) ( ( 2 + 1) )
= ( 2 2) + ( 2 2 3) ，
∵ = 1 2为纯虚数，
∴ 2 2 = 0， 2 2 3 ≠ 0，
解得 = 2，
故 1 = 2 8 ， 2 = 2 5 ，
∴ 1 2 = 4 40 26 = 36 26 ．
17.解：( )因为 sin( + 7 2 4 ) = 10 ， ∈ (0, 4 )，
第 5页，共 9页
所以 cos( + 24 ) = 10，
则 = sin( + 4 4 ) =
2
2 [sin( + 4 ) cos( +
)] = 2 × ( 7 2 2 34 2 10 10 ) = 5；
(Ⅱ) 4 3由( )得 = 5， = 4，
3
2
所以 2 = 1 tan2 =
2 24
1 9
= 7，
16
24
tan(2 + ) = 2 +1
1+ 7 31
4 1 2 = 24 = 17．1 7
18.解；(Ⅰ)因为 = 2 ( + ) ，
在△ 中，sin( + ) = ，
由正弦定理可得 = 2 ，
因为 > 0， > 0，
可得 = 12，
又因为 ∈ (0, )，
= 可得 3；
(Ⅱ)设 边上的中线为 ，
若选①：因为 = 8， = 7 = ， 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
即 49 = 64 + 2 2 × 8 × 12，
整理可得 2 8 + 15 = 0，
解得 = 3 或 = 5，
= 3 =
2+ 2 2 49+9 64 1
当 时，由余弦定理可得 2 = 2×7×3 = 7，
2 2 2
可得 2 = + ，两边平方可得 4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 = 9 + 49 + 2 ×
3 × 7 × ( 17 ) = 52，
可得| | = 13，即 的值为 13；
2 2 2
当 = 5 = + 时，由余弦定理可得 2 =
49+25 64 1
2×7×5 = 7，
再由 2 = +
2 2
，两边平方可得 4 = +
2
+ 2 = 2 + 2 + 2 = 25 + 49 + 2 ×
5 × 7 × 17 = 84，
第 6页，共 9页
可得| | = 21，即 的值为 21；
若选②： = 23，可得 = 1 cos
2 = 53 ，因为 = 8，

由正弦定理可得 = ，
8 12 15
即 = ，可得 = ，
5 3 5
3 2
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
432 12 15 2
即 64 = 5 +
2 2 × 5 × ( 3 )，
2 + 48 15 112整理可得 15 + 5 = 0，因为 > 0，
显然该方程无解，即该三角形不存在；
若选条件③：△ 的面积为 10 3，
= 1 = 1 × 8 × 3因为 △ 2 2 2 = 10 3，可得 = 5，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 64 + 25 2 × 8 × 5 × 12 = 49，
可得 = 7，
2 2 2
由余弦定理可得 = + = 49+25 64 12 2×7×5 = 7，
2 2 2
又因为 2 = + ，两边平方可得 4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 = 25 + 49 +
2 × 5 × 7 × 17 = 84，
可得| | = 21，即 的值为 21．
19.解：(Ⅰ)在△ 中，由正弦定理sin∠ = sin∠ 知，sin∠ = sin∠ ，
因为 cos∠ = 336 ，
所以∠ ∈ (0, ) 36 ，且 sin∠ = 6 ，
因为 = 1， = 3，
sin∠ = 3 × 3 = 1所以 1 6 2，
又因为∠ ∈ (0, )，且∠ ∈ (0, 6 )，
∠ = 5 所以 6或 6；
(Ⅱ)因为∠ + ∠ = 2 ，∠ = 3，
第 7页，共 9页
所以∠ = 3，
因为 = ，
所以在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 2 ( 12 ) =
3 2，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 1 + 3 2 3cos 3 = 4 3，
所以 2 = 4 33 ，
1 1 3 3 4 3+6
故四边形 的面积 = △ + △ = 22 + 2 = 4 + 4 = 12 ．
20.解：(Ⅰ)因为正四棱锥 中， = = 1，∠ = ，
所以 2 = 2 + 2 2 = 2 2 ，
设正方形 的中心为 ，
则 2 = 12
2 = 12 (2 2 ) = 1 ，
则在 △ 中， 2 = 2 2 = ，
则 ( ) = 13 正方形 =
1
3 (2 2 ) ，
所以 ( 1 3 ) = 3 (2 2 3 ) cos
= 23 6 ．
(Ⅱ) ( ) = 4 △ + 底 = 4 ×
1
2 ∠ +
2
= 2 + 2 2 ，其中 ∈ (0, 2 )；
(Ⅲ) ( ) = 2 + 2 2 = 2 2sin( 4 ) + 2．

因为 ∈ (0, 2 )，
所以 ∈ ( 4 4 , 4 )，
所以 sin( 2 24 ) ∈ ( 2 , 2 )，
所以 ( ) ∈ (0,4)，
所以 ( )不存在最值．
21.解：(1)①因为 = ( , )，所以 = + 2 21 2，则 = ( 2 21 + 2) = 1 + 2 1 2
2 2
2 + 2 = +
2 + 2，
所以| | = 2 + 2 + 2；
第 8页，共 9页
②由 = ( 1,2)， = ( 2,1)，即 = 1 + 2 2, = 2 1 + 2，得| | =
( 1)2 + 2 × ( 1) × 2 + 22 = 5 4 ，| | = ( 2)2 + 2 × ( 2) × 1 × + 12 =
5 4 = ( + 2 ) ( 2 + ) = 2 2， 1 2 1 2 1 + 2
2
2 5 1 2 = 4 5 ，


因为 与 的夹角为3，则 cos
= 3 =
4 5 = 1，
| || | 5 4 2
解得 = 12；
(2)依题意设 ( , 0)， (0, )，( > 0, > 0)，
∠ = ， = 1， = 1 3 3
= (0, 3 )，
1
因为 为 中点，则 = 2
+ 12
= 1 12 1+ 2 2，
因为 为 1中点，所以 = 2
+ 1 = 1 12 2 1 + 6 2，
所以 = ( 1 12 1 + 2 2) (
1 1
2 1+ 6 2) =
1 2
4
2
1 +
1 212
2 1 1
2 + ( 12 + 4 ) 1 2，
2 2
因为 1 = 2 = 1, 1 2 = 1 × 1 cos
1
3 = 2，
则 = 14
2 + 1 2 1 112 + ( 12 + 4 ) ×
1 1 2
2 = 4 +
1 2 + 112 6 ，
在△ 中依据余弦定理得： 2 + 2 = 1，所以 = 2 + 2 1，
5 1 1 1
代入上式得， = 12
2 + 2 24 6 = 12 (5 + 3
2) 16，

在△ 中，由正弦定理sin =3 sin∠
= sin∠ ，
设∠ = 2，则 = 3 , =
2
3 sin( +

3 )，
1 cos(2 +2 )
所以 5 2 + 3 2 = 203 sin
2 + 12 sin23 ( +
20
3 ) = 3 ×
1 2 12 3
1 + 3 × 2
= 13 [16 + 2 19sin(2 )] ≤
16+2 19
3 ，其中 =
7
3 3，
sin(2 ) = 1 时取等号，
则 = 112 (5
2 + 3 2) 1 1 16+2 19 1 5+ 196 ≤ 12 × 3 6 = 18 ．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑