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七年级2024-2025学年度下学期期中教学质量监测
数学
注意事项：1本试卷共几页，满分100分，考试时间 90分钟。
2根据网上阅卷需要，本试卷中所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列运动属于平移的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3. 如图，点在上，，，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，下列判断错误的是（ ）
A．和是同旁内角 B．和是内错角
C．和是对顶角 D．和是同旁内角
5. 用代入法解方程组下面四个选项中正确的是（　　）
A．由①得t＝1﹣2s，再代入② B．由②得s＝，再代入①
C．由②得t＝，再代入① D．由①得s＝，再代入②
6．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ）
A． B．
C． D．
7.下列说法中，正确的有（　　）个
①过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④对顶角相等；
⑤同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，垂直和平行三种；
⑥平行于同一条直线的两条直线平行．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．小明从家到学校有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从家到学校需54min，从学校到家需42min．设从家到学校上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
9．已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 .
10．的平方根是 .
11．如图乐乐画出了电子屏幕上显示的数字“6”抽象出来的几何示意图，如图．已知，，，则 .
12.在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的希望点．已知点的希望点为，点的希望点为，点的希望点为，这样依次得到，，，，…，，若点的坐标为，请计算点的坐标为 .
三、解答题（6个小题，共64分）
13.（本题满分13分）计算和解方程（组）：
（1）（4分）． （2）（4分）解方程：（x﹣2）2＝81．
（3）（5分）解方程组：
14.（本题满分10分）如图，三角形ABC的顶点A在原点，B，C坐标分别为B(3，0)，C(2，2)，将三角形ABC向左平移1个单位后再向下平移2个单位，可得到三角形．
（1）（3分）请画出平移后的三角形的图形．
（2）（3分）写出三角形各个顶点的坐标．
（3）（4分）在x轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15.（本题满分8分）已知2a﹣1的平方根是±3，b﹣9的立方根是2，c是的整数部分；
（1）（5分）求a、b、c的值；
（2）（3分）若x是的小数部分，则x﹣（﹣6）的算术平方根．
16.（本题满分10分）如图，，，平分，平分．求证：．
请完善下面证明过程．
证明：（已知），
∴（ ），
（ ， 角相等）．
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（ ）．
平分，平分（已知），
， （ 定义），
（等量代换）．
（本题满分11分）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．
（1）（6分）炼制A丹药与B丹药各多少颗？（请列二元一次方程组来解决这个实际问题）
（2）（5分）已知炼制出的 A 丹药每颗能提升角色 3 点防御力，B 丹药每颗能提升角色 5 点防御力 。
哪吒在一场战斗前，有两种携带丹药方案可供选择：
方案一：携带 3 颗 A 丹药和 2 颗 B 丹药； 方案二：携带 2 颗 A 丹药和 3 颗 B 丹药。
请问选择哪种方案更适合提高哪吒的防御力？
18.（本题满分12分）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线AB∥CD，经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P.
（1）（2分）如图2，若∠ABP＝60°和∠CDP＝55°，则∠BPD＝　 　 ；
（2）（4分）如图2，写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）（2分）如图3，已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，MN右侧任意一点，连接PM，PN，则∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；（不需要写解答过程）
（4）（4分）如图4，在（3）条件下，AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN，若使得，求∠P与∠Q的数量关系．（用n表示）
七年级2024-2025学年度下学期期中教学质量监测
数学（答案）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8.D
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
9. -2； 10.； 11. ； 12. （0，-3）
三、解答题（6个小题，共64分）
13（1）（4分）．
解：（1）原式＝﹣4﹣（1）+3﹣2 --------------------------------------------2分
＝﹣41+3﹣2 --------------------------------------------3分
2． - -------------------------------------------4分
（4分）解方程：（x﹣2）2＝81．
解：（2）（x﹣2）2＝81，
x﹣2＝±9， --------------------------------------------2分
x ﹣2＝9或x﹣2＝﹣9， --------------------------------------------3分
x1＝11，x2＝﹣7； --------------------------------------------4分
（3）（5分）解方程组：．
解：，
①+②得：4x＝12，
解得：x＝3， --------------------------------------------2分
将x＝3代入①得：3+2y＝7，即y＝2，---------------------------------4分
则方程组的解为． ---------------------------------5分
本题也可用代入消元法解方程组，请酌情给分.
14．（本题满分10分）如图，三角形ABC的顶点A在原点，B，C坐标分别为B(3，0)，C(2，2)，将三角形ABC向左平移1个单位后再向下平移2个单位，可得到三角形．
（1）请画出平移后的三角形的图形．
（2）写出三角形各个顶点的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）（本小题共3分）如图所示，三角形
（画图给2分，结论1分）
（2）A'（﹣1，﹣2），B'（2，﹣2），C'（1，0）；
（本小题共3分，一个坐标1分）
（3）（本小题共4分）设P（x，0），则OP＝|x|，
∵三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，
∴OP×2＝AB×2， -------------------------------------------------2分
∴|x|×2＝3×2，
解得x＝±，
∴P1（，0），P2（﹣，0）． ----------------------------------------------- --4分
15．（本题满分8分）已知2a﹣1的平方根是±3，b﹣9的立方根是2，c是的整数部分；
（1）（5分）求a、b、c的值；
（2）（3分）若x是的小数部分，则x﹣（﹣6）的算术平方根．
解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得a＝5；---------------------2分
又∵b﹣9的立方根是2，∴b﹣9＝8，解得b＝17； ---------------------4分
又∵c是的整数部分，而34，∴c＝3； ----------------------5分
答：a＝5，b＝17，c＝3；
（2）∵34，x是的小数部分，
∴x3， --------------------------------------------6分
∴x﹣（ ﹣6）＝3 ﹣6＝3 -----------------------------------7分
∴x﹣（ ﹣6）的算术平方根为． ------------------------------------8分
16.（本题满分10分）如图，，，平分，平分．求证：．
请完善下面证明过程．
证明：（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错；；；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的．（一个空1分）
17.（本题满分11分）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．
（1）（6分）炼制A丹药与B丹药各多少颗？（列二元一次方程组解决实际问题）
（2）（5分）已知炼制出的 A 丹药每颗能提升角色 3 点防御力，B 丹药每颗能提升角色 5 点防御力 。哪吒在一场战斗前，有两种携带丹药方案可供选择：
方案一：携带 3 颗 A 丹药和 2 颗 B 丹药； 方案二：携带 2 颗 A 丹药和 3 颗 B 丹药。
请问选择哪种方案更适合提高哪吒的防御力？
解：（1）设炼制A丹药x颗，炼制B丹药y颗， --------------------------------------1分
根据题意得， ---------------------------------------3分
解得， ---------------------------------------5分
答：炼制A丹药5颗，炼制B丹药6颗． ----------------------------------------6分
（2）首先需要算出两种方案分别能提升的防御力：
- 方案一：已知 A 丹药每颗提升 3 点防御力，B 丹药每颗提升 5 点防御力。
携带 3 颗 A 丹药和 2 颗 B 丹药，提升的防御力为3×3 + 2×5= 9 + 10 = 19（点）。 ---------------------------------------8分
- 方案二：携带 2 颗 A 丹药和 3 颗 B 丹药，提升的防御力为2×3 + 3×5
= 6 + 15 = 21（点）。 -----------------------------------------10分
因为21＞19 ，所以方案二更适合提高哪吒的防御力。---------------------------------11分
18.（本题满分12分）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线AB∥CD，经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P.
（1）（2分）如图2，若∠ABP＝60°和∠CDP＝55°，则∠BPD＝ 　 　 ；
（2）（4分）如图2，写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）（2分）如图3，已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，MN右侧任意一点，连接PM，PN，则∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；（不需要写解答过程）
（4）（4分）如图4，在（3）条件下，AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN，若使得，求∠P与∠Q的数量关系．（用n表示）
解：（1）过点P作PR∥AB（点R在点P的左侧），如图2所示：
∵AB∥CD，∴AB∥PR∥CD，
∴∠BPR＝∠ABP＝60°，∠DPR＝∠CDP＝55°，
∴∠BPR+∠DPR＝60°+55°＝115°，
∵∠BPD＝∠BPR+∠DPR，∴∠BPD＝115°，
故答案为：115°；---------------------------------------------------------------------------------------------------------2分
（2）∠BPD，∠ABP和∠CDP之间的数量关系是：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，--------3分
理由如下：
如图2所示，过点P作PR∥AB（点R在点P的左侧），如图2所示：-------------------4分
∵AB∥CD，∴AB∥PR∥CD，
∴∠BPR＝∠ABP，∠DPR＝∠CDP，-------------------------------------------------------------5分
∴∠BPR+∠DPR＝∠ABP+∠CDP，
∵∠BPD＝∠BPR+∠DPR，
∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP；- ---------------------------------------------------------------6分
∠MPN，∠AMP，∠CNP的数量关系为：∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°，----8分
不要求写过程
理由如下：
过点P作PS∥AB（点S在点P的左侧），如图3所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PS∥CD，
∴∠MPS+∠AMP＝180°，∠NPS+∠CNP＝180°，
∴∠MPS+∠AMP+∠NPS+∠CNP＝360°，
∵∠MPN＝∠MPS+∠NPS，
∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°；
（4）设∠AMQ＝α，∠CNQ＝β，
∵∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP，
∴∠AMP＝n∠AMQ＝nα，∠CNQ＝n∠CNQ＝nβ，----------------------------------------9分
由（2）的结论得：∠Q＝∠AMQ+∠CNQ＝α+β，
由（3）的结论得：∠P+∠AMP+∠CNP＝360°，
∴∠P +nα+nβ＝360°， ---------------------------------------11分
∴∠P +n（α+β）＝360°，
∴∠P +n∠Q＝360°． ----------------------------------------12分

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