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2024-2025 学年北京市育才学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本大题共 10 小题，共 40 分。
1 1.已知 ( ) = ，则 ′(1) =( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
2.下列求导运算正确的是( )
A. ( + 1)′ = B. ( 1 )′ = C. ( )′ = D. (
)′ = 1
3.袋中共有 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球．从袋中抽取 2 个球，其中恰有一个白球的概率为( )
A. 35 B.
3
4 C.
1 3
2 D. 10
4 (2) (1).已知函数 ( )在 上可导，其部分图象如图所示，设 2 1 = ，则下列不等式正确的是( )
A. ′(1) < ′(2) < B. ′(1) < < ′(2)
C. ′(2) < ′(1) < D. < ′(1) < ′(2)
5 1.在等比数列{ 15 }中， 1 = 2， 4 = 4 .若 = 2 ，则 =( )
A. 17 B. 16 C. 14 D. 13
6.设{ }是公比为 的等比数列，则“ > 1”是“{ }为单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若等差数列{ }满足 8 > 0， 7 + 10 < 0，则当{ }的前 项和最大时， =( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 = {两个点数互不相同}， = {出现一个 5 点}，则 ( | ) =( )
A. 13 B.
5 1
18 C. 6 D.
1
4
9.等比数列{ }中， 1 = 8， 4 = 1，记 = +1， ∈ ，则数列{ }( )
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A.无最大项，无最小项 B.有最大项，有最小项
C.无最大项，有最小项 D.有最大项，无最小项
10.已知 是等差数列{ }( ∈ )的前 项和，且 5 > 6 > 4，以下有四个命题：
①数列{ }中的最大项为 10；
②数列{ }的公差 < 0；
③ 10 > 0；
④ 11 < 0．
其中正确的序号是( )
A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知函数 ( ) = ，则 ′(1) = ______．
12.一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为 0.9，0.8，0.8，在一
小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率______．
13.已知{ }为等差数列，
1
为其前 项和.若 1 = 1， 1 + 2 = 3，则公差 = ______，数列{ }的前 5 项
和为______．
14.是否存在一个各项都小于 5 的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不
存在，说明理由．
15.已知数列{ }满足 1 > 0， +1 = +

( ≠ 0)，给出下列四个结论：
①存在 ，使得{ }为常数列；
②对任意的 > 0，{ }为递增数列；
③对任意的 > 0，{ }既不是等差数列也不是等比数列；
④对于任意的 ，都有 2 2 ≥ 1 + 2 ( 1)．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知等差数列{ }满足： 1 = 2，且 1， 2， 5成等比数列，数列{ }的前 项和为 ．
(1)求数列{ }的通项公式，前 项和 ；
(2)是否存在正整数 ，使得 > 60 + 800？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由．
17.某高中组织学生研学旅行.现有 ， 两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研学旅
行结束后，学校从全体学生中随机抽取 100 名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
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高一 高二 高三
地 地 地 地 地 地
满意 12 2 18 3 15 6
一般 2 2 6 5 6 8
不满意 1 1 6 2 3 2
假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率．
(Ⅰ)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
(Ⅱ)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取 1 人，估计这 3 人中至少有 2 人选择去 地的概率；
(Ⅲ)对于上述样本，在三个年级去 地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为 21，调查结
果为不满意的学生人数的方差为 22，写出 21和 22的大小关系. (结论不要求证明)

18 .已知函数 ( ) = ．
(1)求 ( )在点 (1, )处的切线方程；
(2) ( ) = ( )，若 ( )的一条切线 恰好经过坐标原点，求切线 的方程．
19.已知在数列{ }中， 1 = 2， = 2 ，_____，其中 ∈ ．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)求证：数列{ }是等比数列；
(Ⅲ)求数列{ + }的前 项和 ．
从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答．
①前 项和 = 2 + ；
② +1 2 = ；
③ 4 = 8 且 2 +1 = + +2．
20.
地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图(如图)，考虑到受市场影响，预测该地
区明年冬小麦统一收购价格情况如表(该预测价格与亩产量互不影响)．
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明年冬小
麦统一收
2.4 3
购价格(单
位：元/ )
概率 0.4 0.6
假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率．
(Ⅰ)试估计 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 1500 元的概率；
(Ⅱ)设 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 元，求 的分布列和数学期望；
(Ⅲ) 地区农科所研究发现，若每亩多投入 125 元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增
加 50 .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由．
2 + 2 2, 为奇数
21 1 .已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = ，数列{ }的前 项和为 ，数列{ }满足 = , 为偶数
2 ，其中 ∈
(Ⅰ)求 2 + 3的值；
(Ⅱ)证明：数列{ }为等比数列；
(Ⅲ)是否存在 ( ∈ )，使得 2 +1
41
2 = 2 ？若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.1
12.0.424
13.1 53
14.存在，如数列 = 5 (
1
2 )
．
15.②③④
16.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由 1 = 2，且 1， 2， 5成等比数列，
得(2 + )2 = 2(2 + 4 )，解得 = 0 或 = 4，
当 = 0 时， = 2， = 2 ；
当 = 4 时， = 2 + 4( 1) = 4 2， =
(2+4 2)
2 = 2
2．
(2)当 = 2 时， < 60 + 800，此时不存在正整数 ，使得 > 60 + 800 成立；
当 = 2 2时，由 2 > 60 + 800，得 2 > 60 + 800，解得 > 40 或 < 10．
此时存在正整数 = 41，使得 > 60 + 800 成立．
17.解：(Ⅰ)从表格数据可知，随机抽取的 100 名学生对本次研学旅行满意的人数为 12 + 2 + 18 + 3 + 15 +
6 = 56，
56 14
因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为100 = 25；
(Ⅱ)设事件 1：抽取的高一学生选择去 地，
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事件 2：抽取的高二学生选择去 地，
事件 3：抽取的高三学生选择去 地，
事件 ：抽取的 3 人中恰有 人选择去 地， = 2，3，
事件 ：抽取的 3 人中至少有 2 人选择去 地，
从数据表格可知，抽取的 100 名学生中高一年级学生总数为 12 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 20，
选择去 地的总数为 2 + 2 + 1 = 5，所以 ( 1)
5 1
可估计为20 = 4，
抽取的 100 名学生中高二年级学生总数为 18 + 6 + 6 + 3 + 5 + 2 = 40，
选择去 地的总数为 3 + 5 + 2 = 10 ( ) 10，所以 2 可估计为40 =
1
4，
抽取的 100 名学生中高三年级学生总数为 15 + 6 + 3 + 6 + 8 + 2 = 40，
选择去 地的总数为 6 + 8 + 2 = 16 16 2，所以 ( 3)可估计为40 = 5，

因为 = 2 ∪ 3 = 1 2 3∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3，

所以 ( ) = ( 2 ∪ 3) = ( 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3)

= ( 1) ( 2) ( 3) + ( 1) ( 2) ( 3) + ( 1) ( 2) ( 3) + ( 1) ( 2) ( 3)，
所以抽取的 3 人中至少有 2 人选择去 地的概率可估计为
1 1
4 × 4 × (1
2
5 ) + 2 ×
1
4 × (1
1 ) × 24 5 +
1 1 2 17
4 × 4 × 5 = 80；
(Ⅲ)在三个年级去 地研学旅行的学生中，
1
调查结果为满意的学生人数的平均数为 1 = 3 (12 + 18 + 15) = 15，
1
则调查结果为满意的学生人数的方差为 21 = 3 [(12 15)
2 + (18 15)2 + (15 15)2] = 6，
1 10
调查结果为不满意的学生人数的平均数为 2 = 3 (1 + 6 + 3) = 3，
则调查结果为不满意的学生人数的方差为 2 = 12 3 [(1
10 2 10 2
3 ) + (6 3 ) + (3
10 )2] = 383 9，
则 21 > 22．

18.解：(1)因为 ( ) = ，所以 ′( ) = 2 =
( 1)
2 ，
所以 ′(1) = 0，
所以所求切线方程为 = 0；
(2)因为 ( ) = ( ) = ，所以 ′( ) = ，
设过原点的切线 切 ( )于点( , )，
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则切线方程为： = ( )，又其过原点，
所以 = ( )，所以 = 1，
所以切线 的方程为 = ( 1)，即为 = 0．
19.(Ⅰ)解：若选择①：前 项和 = 2 + ，
则 ≥ 2 时， = 2 1 = ( + ) [( 1)2 + ( 1)] = 2 ，
当 = 1 时， 1 = 2 = 2 × 1，也适合 ≥ 2 的式子．
综上所述，数列{ }的通项公式为 = 2 ；
若选择②： +1 2 = ，则 +1 = 2(常数)，
可知数列{ }构成公差为 2 的等差数列，首项 1 = 2．
所以数列{ }的通项公式为 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ；
若选择③： 4 = 8 且 2 +1 = + +2，则 +1 = +2 +1，
可知数列{ }是等差数列，
设公差为 ，则由 4 = 1 + 3 = 8，得 2 + 3 = 8，解得 = 2．
所以数列{ }的通项公式为 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ．
(Ⅱ)证明：若 = 2 ，则由(Ⅰ)的结论 = 2 ，可得 = 22 = 4 ，
4 +1
因为 +1 = 4 = 4(常数)，且

1 = 2 1 = 4，

所以数列{ }是首项为 4，且公比 = 4 的等比数列；
(Ⅲ)根据 = 2 ， = 4 ，结合等差数列与等比数列的求和公式，可得：
= ( 1 + 1) + ( 2 + 2) + … + ( + )
= ( 1 + 2 + …… + ) + ( 1 + 2 + …… + )
= 2 + ( 1) × 2 + 4(1 4
) 2 4 1 +1 1 +1 2 4
2 1 4 = + 3 + 3 × 4 = 3 × 4 + + 3．
4 +1
即 = 3 +
2 + 43．
20.解：(Ⅰ)由频率分布直方图知，亩产量为 400 的频率为 0.005 × 50 = 0.25，亩产量为 450 的频率为
0.01 × 50 = 0.5，亩产量为 500 的频率为 0.005 × 50 = 0.25，
只有当亩产量为 500 ，且收购价格为 3 元，才能使得明年每亩冬小麦统一收购总价为 1500 元，故所求
的概率为 0.25 × 0.6 = 0.15．
(Ⅱ)由亩产量为 400 ，450 ，500 ，收购价格为 2.4 元，3 元，可知随机变量 的所有可能取值为 960，
1080，1200，1350，1500，
( = 960) = 0.25 × 0.4 = 0.1，
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( = 1080) = 0.5 × 0.4 = 0.2，
( = 1200) = 0.25 × 0.6 + 0.25 × 0.4 = 0.25，
( = 1350) = 0.5 × 0.6 = 0.3，
( = 1500) = 0.25 × 0.6 = 0.15，
所以 的分布列为
960 1080 1200 1350 1500
0.1 0.2 0.25 0.3 0.15
数学期望 ( ) = 960 × 0.1 + 1080 × 0.2 + 1200 × 0.25 + 1350 × 0.3 + 1500 × 0.15 = 1242 元．
(Ⅲ)增产后，小麦的亩产量变为 450 ，500 ，550 ，
由(Ⅱ)可知， 的分布列为
1080 1200 1320 1350 1500 1650
0.1 0.2 0.1 0.15 0.3 0.15
数学期望 ( ) = 1080 × 0.1 + 1200 × 0.2 + 1320 × 0.1 + 1350 × 0.15 + 1500 × 0.3 + 1650 × 0.15 =
1380 元，
因为 1380 125 = 1255 元> 1242 元，
所以从广大种植户的平均收益角度分析，建议农科所推广该项技术改良．
21.解：( )因为 2 = 1， 3 = 3，所以 2 + 3 = 2．
(或者根据已知 2 +1 + 2 = 2 ，可得 3 + 2 = 2. ) …(3 分)
( )证明： +1 = 2 +2 = 2 2 +1 + 4 = 2( 2 2 ) + 4 = 2 2 = 2 ， 1 = 2 = 2 1 = 1，
故数列{ }是首项为 1，公比为 2 的等比数列．…(7 分)
( )由 ( )知 = ( 2) 1，
所以 = ( 2)2 1 = 22 12 ．
设 = 2 + 2 +1( ∈ ),则 = 2 ，
又 2 +1 = 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + … + ( 2
1
2 + 2 +1) = 1 + 1 + 2 + … + = + 2．
41则由 2 +1 2 = 2 ，得 2
2 + 2 + 40 = 4 ，
设 ( ) = 4 2 2 2 40( ≥ 2)，
则 ( ) = ′( ) = 4 4 4 2， ′( ) = 4 ln24 4 > 0( ≥ 2)，所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增，
( ) ≥ (2) = ′(2) > 0，即 ′( ) > 0，所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增
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又因为 (1) < 0， (3) = 0，
41
所以仅存在唯一的 = 3，使得 2 +1 2 = 2 成立．…(13 分)
第 9页，共 9页

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