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3.1 圆复习题
【题型1 圆的基本概念】
1.下列说法正确的有（　　）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
2.如图， 的两条弦、的延长线交于C点，的平分线过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
4.如图，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分
【题型2 识别圆心角】
1.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．

2.下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为 ．
4.如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
【题型3 求圆中弦的条数】
1.如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2.如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画山一条与相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．
3.如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
4.的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．
【题型4 圆的周长和面积】
1.由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ．
2.如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.

3.如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由．
4.如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）．
【题型5 确定圆内一点最长的弦】
1.如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
2.若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．

4.如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（ ）

A．290 B．272 C．252 D．244
【题型6 判断点与圆的位置关系】
1.在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
2.如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
3.如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）

A．，，都不在 B．只有 C．只有， D．，，
4.如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点在外 B．点在外
C．点在外 D．点在内
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】
1.已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
2.点P是⊙O所在平面内一点，若⊙O的面积为，则当OP 时，点P－定在⊙O的外部．
3.在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
4.如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）

A． B． C． D．
【题型8 求一点到圆上点的距离的最值】
1.如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．

2.如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．
3.如图，已知在中，，，将绕点A逆时针旋转．得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是 ．
4.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 圆中角度的计算】
1.如图，在平面直角坐标系中，B，C为x轴上两点，以点O为圆心画圆（直径小于），交y轴负半轴于点A，过点A作x轴平行线，点P为圆上一个动点，连接，下列说法正确的有（　　）
①当点P运动到第一象限，则
②当点P运动到第二象限，则
③当点P运动到第三象限，则
④当点P运动到第四象限，则
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
2.如图，的圆心为点，以点为圆心作，且与的延长线交于点，与的延长线交于点．已知，求的度数．
3.如图，是半圆的直径，点是半圆上不与点、重合的一个动点，延长到点，使，是的中点，连接、．

(1)求证： ；
(2)连接，当四边形是菱形时，求的度数．
4.如图，在中，，C为上一点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的面积与的面积之比为，求的值．
【题型10 圆中线段长度的计算】
1.如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A的对称点），那么的长为 ．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C． 6 D．9
3.如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（ ）

A． B．8 C． D．
4.综合探究
如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由．
(3)求证：是定值．
参考答案
【题型1 圆的基本概念】
1.B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
2.（或或）
【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线；角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线结合进行判断．此题关键是根据图形的对称性，分析可以重合的线段．
【详解】这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线，根据轴对称的性质，得或或．
故答案为：（或或）．
3.
【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点．连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为，
故答案为：．
4.D
【分析】本题主要考查圆的性质和平行四边形的判定，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，可得,故可判断四边形是平行四边形
【详解】解：在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，
∴,
∴四边形是平行四边形
故选：D
【题型2 识别圆心角】
1.
【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接，
由题意可得：，，，
∴，，
∴．
故答案为．

方法二∶解∶ 连接，
由题意可得：，
根据圆周角定理，知．
故答案为．

2.C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
3.60
【分析】本题考查了圆心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角是解题关键．根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，∵在中，弦的长恰好等于半径，
，
是等边三角形，
，
即弦所对的圆心角为，
故答案为：60．

4.解：连接，如图，
∵弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵弦，
∴．
【题型3 求圆中弦的条数】
1.B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
2.解：（1）如图1，DE为所作；
连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在△BOC和△DOE中，
，
∴△BOC≌△DOE（SAS），
∴BC=DE；
（2）如图2，△A′B′C′为所作．
连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，
在△BOC和△B′OC′中，
，
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′，
同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
3. 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
4.7
【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个．
【详解】如图，∵的半径为，
∴直径，
∴弦长的整数值有或或或，共4种可能，
当或或时,各有2条,
当时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．
【题型4 圆的周长和面积】
1.
【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
【详解】解：如图，
到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形，
所以
．
故答案为：．
2.解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为，
由图可得，，即，
解得， （舍），，
∴，
∴，
答：围成圆环铁丝的总长度为．
3.解：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，
根据题意得，
解得（负值舍弃），
∴，
∴，，
∵圆的面积为75，设圆的半径为rcm，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆．
4. 6.28 6.28
【分析】利用各跑道直线跑道相等，每条跑道宽1m，两个半圆相加得一个整圆列出式子对比即可．
【详解】解：设直线部分长为l米
1号：
2号：
3号：
4号：
2号比1号长：
4号起点比2号起点前移：
故答案为：6.28，6.28
【题型5 确定圆内一点最长的弦】
1.B
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键．
根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．
【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长，
由图（b）得，最长时为6，此时，
，
，
此时点路程为90度的弧，
点从点运动到点的弧度为270度，
运动时间为，
故选：B．
2.D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，
∴的长不可能是，
故选：D．
3.2
【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为．
【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴．
点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．
∵是直径，
∴．
∴的最大值为．
故答案为：2

4.B
【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得 ，，利用弦最长等于直径即可得出答案．
【详解】解：过点C作于点N，连接，

点为的中点，，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
在中，
，
当最大时，最大，
的半径为5，
弦最长等于直径是10，
，
．
故选：B．
【题型6 判断点与圆的位置关系】
1.圆外
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，
∴，
∴点在圆外，
故答案为：圆外．
2.C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．首先根据三角形中位线的性质得出，进而利用点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：连接，
∵以为直径作，线段的中点为P，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点P与的位置关系是点P在外．
故选：C．
3.A
【分析】
根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，点D与圆的位置关系，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．
【详解】
解：，，，
，
是直角三角形，且，
点是斜边的中点，
，，
如图，以为圆心，为半径画圆，

，
点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
4.A
【分析】根据等腰三角形的性质求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的长，即可判断点A与的位置关系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判断点B、C与的位置关系，由DP即可判断点D与位置关系．
【详解】解：∵，
∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，
∴cm，
∵DP=2cm，
∴AP=6cm，
∴点A在上；故A选项符合题意；
连接BP、CP，
∵，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP=,
∴点B、C都在外；故B、C选项都不符合题意；
∵DP=2<6，
∴点在内，故D选项不符合题意，
故选：A．
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】
1.
【分析】连接，，利用勾股定理求出的长，抓住已知以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，就可求出的半径r的取值范围．
【详解】解：连接，，
∵矩形中，，，
∴，，，
∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点，
∴的半径r的取值范围是：；
故答案为：．
2.＞3
【分析】由⊙O的面积为9π，可求出半径为3，再根据点P在圆外d>r可得解．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为9π，
∴，
∴r=3，
∴⊙O的半径为3，
∴当OP>3时，点P一定在⊙O的外部．
故答案为：>3．
3.D
【分析】要使点B在内，则，即，求解即可．
【详解】解：要使点B在内，则，即
解得，
故选：D
4.B
【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．
【详解】解：连接交于，如图，

在 中，由勾股定理得：，
则，
，
，
与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
【题型8 求一点到圆上点的距离的最值】
1.
【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是明确点的运动轨迹．
根据勾股定理算出，再根据题意确定点在以为半径的上运动，的最大值，即可求解；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴点在以为半径的上运动，
如图当三点共线时，

最大，最大值．
故答案为：．
2.
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等边三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等边三角形的性质求得值即可求解．
【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，
由旋转性质得，，，即，
∴，是等边三角形，
∴，，
则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，
∵，
∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为，
∵点M是等边三角形边的中点，，
∴，，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：．
3.
【分析】如图，连接，作于H，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作于H，于．
以A为圆心，以为半径作圆，与直线的右侧交点为，
以A为圆心，以为半径作圆，与直线的左侧交点为，
∵，，点D是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，且最小值为：，
当点与重合时，的值最大，且最大值，
∴线段长度的最大值与最小值的差为：，
故答案为：．
4.A
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题,三角形中位线定理,圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．连结，根据反比例函数的中心对称性可得，即得是的中位线，所以，当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，求出，的值，即得答案．
【详解】连结，
正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，
点A与点B关于原点O对称，
，
点Q是AP的中点，
是的中位线，
，
当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，
联立，
解得或，
，
，
，
点P在1为半径的上运动，
，
，
长的最大值为．
故选A．
【题型9 圆中角度的计算】
1.D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来求解，画出每一种情况的图形，然后利用平行线的性质求解．
【详解】解：①当点P运动到第一象限，则，故①错误；
②当点P运动到第二象限，
则，故②正确；
③当点P运动到第三象限，
则，故③正确；
④当点P运动到第四象限，则，
则，故④错误，
故正确的为：②③，
故选：D．
2.解：∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴
3.（1）解：点是的中点，，
，，
．
，
，
在和中，
，
；
（2）解：连接，

四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
．
4.（1）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（2）
解：过C作于H，设，
∵的面积与的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股可得，
在中，由勾股可得，
∴．
【题型10 圆中线段长度的计算】
1.
【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．
【详解】解：连接，
由翻折得：，，
，
是等边三角形，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：（舍去），
，
故答案为：．
2.C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的圆的性质求解即可；
【详解】连接CD，
∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3，
∴，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点，
∴，
∴；
故选C．
3.C
【分析】连接，由正方形性质可得，，，然后用勾股定理求出半径，再求出的长即可．
【详解】解：连接，

∵正方形的边长为4，，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
故选：C．
4.（1）证明：如图，连接交于点．
，
，
四边形是矩形，
．
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：存在，线段的长度不变．
∵点A是上的点，
在矩形中，．
，
．
（3）解：如图，过点作于点．
设，则．
由，得，
．
，
，
，
是定值．

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