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3.3 垂径定理复习题
【题型1 垂径定理的概念识别】
1.如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
2.下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦
3.如图，为的直径，为的弦，于E，下列说法错误的是（　　　）

A． B． C． D．
4.如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
【题型2 由垂径定理求线段的长度】
1.如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
2.如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的长．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ．
4.如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【题型3 由垂径定理求面积】
1.如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且，
(1)求的长；
(2)当时，求的面积．
2.如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．
3.如图，为半圆的直径，O为圆心，，延长到A，使得，直线与半圆交于B，C两点，且．

(1)求弦的长；
(2)求的面积．
4.如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】
1.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
2.如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
3.如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
4.若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为
【题型5 由垂径定理求坐标】
1.如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为，点A的坐标为，那么点B的坐标为 ．
3.如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．

4.如图，在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点M是反比例函数图象上的一个动点，若以点M为圆心，4为半径的圆与直线相交，交点为P，Q，当弦的长为时，点M的坐标为（ ）
A．和 B．或
C．或 D．或
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】
1.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
2.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
3. 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
4.某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以
【题型7 利用垂径定理格点作图】
1.如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图1中，画出劣弧的中点；
(2)在图2的劣弧上找一点，使．
2.如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．

(1)过，，三点的圆的圆心坐标为（______，______）；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
4.如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图：
(1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
(2)作格点（顶点均在格点上），使与互补．
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】
1.已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．

3.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条．
4.如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】
1.如图，在中，半径为5，是两条弦，，，于点，于点．点在上运动，则的最小值为 ．
2.如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　）
A．B． C． D．
4.如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为，点从出发沿方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，经过 秒后，为等腰三角形．
【题型10 垂径定理的应用】
1.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
2.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
3.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．
4.为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
参考答案
【题型1 垂径定理的概念识别】
1.D
【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：连接OA，
条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
2.B
【分析】根据弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、因为等弦所对的弧有可能为优弧，也可能是劣弧，故本选项错误，不符合题意；
B、等弧所对的弦相等，故本选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
3.C
【分析】根据垂径定理解题.
【详解】为的弦，于E，
，，
故选项A、B、D正确，
无法判断，故选项C错误，
故选：C
4.D
【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A．
根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，A正确
∵，
∴，，B正确
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【题型2 由垂径定理求线段的长度】
1.A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：设的半径为r，
，，
，
为直径，
，
是的中点，
，
在中，
，
，
，
，
．
故选：A．
2.（1）解：证明：如图，连接．
∵于点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
同理：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴
∴是的中点．
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
3.
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：设直线与轴交于点，过点作，则，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4.D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案．
【详解】解：作于M，于N，连接，，
由垂径定理得
勾股定理得：，
弦互相垂直，
，
于M，于N，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
故选：D．
【题型3 由垂径定理求面积】
1.（1）解：∵为的直径，
为的中点，O为的中点，
（2）
∵弦于点，
连接，
在中，
．
2.解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
在直角中，，
，
解得，
，
．
3.（1）解：过点作于，如图，则，

∵直径，，
∴，，
∵，则
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
4.
【分析】如图，连接，作于，则，，是等边三角形，是等腰直角三角形，，，，由，可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积即可．
【详解】解：如图，连接，作于，

∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，，，
∵，
∴该三角形是以为直角边的直角三角形，
∴面积为，
故答案为：．
【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】
1.
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．
故答案为：．
2.3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
3.证明：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴MC＝MD，
∴∠C＝∠D，
∵∠C＝∠E，
∴∠E＝∠D，
∴CD∥EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB．
4.7或17
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线．
首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离．
【详解】解：连接，过点O作于点M，
∵，
∴直线，设垂足为点，
，
，，
，
∴在中，，
在中，，
①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，
②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，
．
综上所述，，之间的距离为7或17．
故答案为： 7或17．
【题型5 由垂径定理求坐标】
1.D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，过作轴交于，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握定理，构建是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过作轴交于，
，，
，，
，，
，
，
，
；
故选：D．
2.
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理；
如图，过点P作轴于C，则，求出，根据垂径定理可得的长，然后可得点B的坐标．
【详解】解：如图，过点P作轴于C，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了中位线的性质，坐标与图形性质，垂径定理．先利用圆半径相等得到，即可求出和，再利用垂径定理得到是中位线，即可得到D点坐标．
【详解】∵以为直径的经过点O，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴,
∴是中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
4.C
【分析】当点M在直线上方时，连接，作，则和，求得，作轴交弦于点C，设，利用等腰直角三角形得和，进一步得，即可知点，代入反比例函数求得a即可；根据对称性可得点M在直线下方时的坐标．
【详解】解：当点M在直线上方时，连接，作，如图，
则，，
在中，，
作轴交弦于点C，设，则，而，
∵轴，
∴，
∴，
则点，
∴，解得，或（舍去），
则，
当点M在直线下方时，由对称性可知，
故选：C．
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】
1.C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
2.A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
3.134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
4.D
【分析】乙的做法的合理性为可由垂径定理求出HK，又知KL，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可．
【详解】解：甲、乙两组的做法都可以，
乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：D．
【题型7 利用垂径定理格点作图】
1.（1）解：如图，点即为所求．

（2）如图，点即为所求．

2.B
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图，线段的垂直平分线即，
线段的垂直平分线的交点即为弧的圆心．
即圆心的坐标是，
故选：B．
3.（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，

，
故答案为：，；
（2），，，
，，
，
点在的外部．
4.（1）如图所示，点即为所求；

（2）如图所示，格点即为所求．
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】
1.D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，过点最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点的最短的弦是8，故过点的弦的长度在8和10之间，所以过点的弦中长度为整数的弦的条数为4．
【详解】解：如图示，
作弦于，
则，
在中，，，
，
，
故过点的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条，
所有过点的所有弦中取整数的有8，9，10．这三个数，
又圆是轴对称图形，
过点的弦中长度为整数的弦的条数为4．
故选：D．
2.4
【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可．
【详解】过点作直径，作弦，

则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦，
∴长度为整数的弦长还有9，
∵过点且长度为9的弦有2条，
∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条．
故答案是4．
3.4
【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案．
【详解】解：当时，
∴直线必过点，
最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径，
当弦最短时，
连接，，
则，
点的坐标是，
，
以原点为圆心的圆过点，
圆的半径为13，
，
，
，
的长的最小值为24；
当弦最长时，则，
∴
∵弦的长为整数
∴或25或 26（其中是25的有两条），
∴弦的长为整数的有4条，
故答案为：4．
4. 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】
1.
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，轴对称-最短路径问题等知识，作于A点，连接，，首先根据题意得到，得到当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度，然后利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理结合线段的和差得到，然后证明出四边形是矩形，得到，，最后利用勾股定理求解即可．解题的关键是根据题意得到当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度．
【详解】作于A点，连接，，
∵，是的直径
∴点G和点H关于对称
∴
∴
∴当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度，
∵在中，半径为5，
∴
∵，，，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴．
故答案为：．
2.1或4
【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，当点与点重合时，
，，，
，
，
，
如图，当点和点重合时，连接，
，，
，
，
，
综上所述：或4，
故答案为：1或4．
3.A
【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．
【详解】解：连接PC．
∵P（3，0），C（0，2），
∴PC2＝13．
∵AB是直径，
∴∠Q＝90°．
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形．
∴PE＝QF．
∵PF⊥QB于F，
∴QF＝BF．
∴PE＝BF．
∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．
故选：A．
4.或或
【分析】作OD⊥AC于D，利用勾股定理计算出AD=3，则AC=2AD=6，然后分类讨论：当CP=CA或PA=PC或AP=AC时，求出时间即可．
【详解】解：作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝，
∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝，
∴CE AB＝AC BC，
∴CE＝，
在Rt△ACE中，AE＝，
∵AE＝PE，
∴BP＝AB﹣2AE＝，
∴运动时间为s；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时运动时间为5s；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时运动时间为4s，
综上所述，运动时间为s或4s或5s．
故答案为：或4或5．
【题型10 垂径定理的应用】
1.A
【分析】过点O作，交于点D，交于点E，设的半径为r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：过点O作，交于点D，交于点E，
设的半径为r．
在中，，
由勾股定理得出方程，
解得：，
∴的直径为26寸，
故答案为：26．
2.（1）解：如图，半径，，
设桥拱的半径是米，
，
（米，
拱高为4米，
米，
，
，
，
桥拱的半径是10米；
（2）解：，
（米，
（米，
（米，
（米，
水面涨高了2米．
3.1
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题．
【详解】解：连接交于点，
点为运行轨道的最低点，
，
,
由题知米，米，
米，
米,
米．
故答案为：．
4.150
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作于G，交弧于H，连接，利用垂径定理求出，设半圆的半径为r，在中，利用勾股定理求出半径，从而可求矩形的面积，即可求解．
【详解】解：过O作于G，交弧于H，连接，
则，，
∵，，
∴，
设半圆的半径为r，则，
在中，，
∴，
解得，
∴
∴正方形边长，
∴，
∴矩形的面积为，
∵每平方米最多可以坐3名观众，，
∴观演区可容纳人，
故答案为：150．

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