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2024—2025学年第一学期九年级数学阶段性测试
2024.10
一、选择题（每题4分，共计48分）
1.在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若关于的一元二次方程有一个根是，则的值（ ）
A. B.0 C.1 D.或1
3.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A.11 B.11或13 C.13 D.以上选项都不符合题意
4.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A.开口向上 B.经过原点 C.对称轴是y轴 D.顶点在x轴上
7.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
8.在同一平面直角坐标系中次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线与直线在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每涨2元，销售量就减少10个，并且每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（ ）元.
A.25 B.20或40 C.40 D.20
12.如图是抛物线的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①③⑤ D.②④⑤
二、填空题（每题4分，共计24分）
13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围__________.
14.若抛物线有最小值，则常数的值为__________.
15.如图，大正方形的边长为，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则图中阴影部分的面积是__________.
16.若抛物线的最低点在x轴上，则__________.
17.已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________.
18.如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标__________.
三、解答题（共计78分）
19.（12分）
解方程：（1）（2）（3）
20.（10分）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙AD长为9米，墙CD的长为6米，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米.
（1）设矩形苗圃的一边AB的长为x（m），矩形苗圃面积为y（），求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？
21.（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，9月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到11月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳12月的进馆人次，并说明理由.
22.（10分）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当的周长最小时，求点P的坐标.
23.（10分）若一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根为相邻的偶数，则称此方程为“对偶方程”.例如：方程的两个根为，则方程是“对偶方程”.如果关于的一元二次方程是“对偶方程”，求的值.
24.（12分）已知二次函数.
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）当时，函数图象的最高点为，最低点为，且最高点的纵坐标为，求点和点的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点，，当，时，均有，请结合图象，请你直接写出t的取值范围.
25.（14分）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点.他们把这个点定义为点的“简朴”点，他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”.
例如二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
（1）点的“简朴”点是_________；
（2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
2．答案：A
3．答案：C
4．答案：A
5．答案：C
6．答案：D
7．答案：C
8．答案：D
9．答案：B
10．答案：A
11．答案：D
12．答案：C
13．答案：且
14．答案：2
15．答案：3
16．答案：2
17．答案：或7
18．答案：
19．解：(1)∵,
∴,
∴或,
解得,；
(2)∵,
∴,
∴,
∴或,
解得,；
(3)∵,
∴,
∴,
∴或,
解得,.
20．解：(1)∵在矩形中,,,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
,
,
∵墙长为9米,墙的长为6米,
∴,
∴
；
(2)由题意得,,
解得：(舍去),.
答：当x为5时,所围矩形花圃的面积为.
21．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x.由题意得.
化简得，
解得，（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）能.理由：进馆人次的月平均增长率为50%，
第四个月的进馆人次为（人次），，
校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
22．解：(1)抛物线的顶点为,
设抛物线的解析式为,
在抛物线上,,
解得.
抛物线的解析式为；
(2)中,
令,则
解得,,
,.
∵是定值,
∴求的周长最小就转化为求的最小值,
由抛物线的对称性,知点C与点D关于抛物线的对称轴对称,
∴,当点B,P,D三点共线时,取得最小值,
连接交直线于点P,此时的值最小.
设直线的解析式为,
,
解得：
故直线的解析式为.
当时,.
.
23．解：根据题意设两根为,,
则,,
消去m得：,
化简得：,
∴
解得：,
∴.
24．解：(1)该二次函数图象的对称轴是直线；
(2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,且,最高点的纵坐标为,
∴当时,y的值最大,
∴,
把代入,解得.
∴该二次函数的表达式为.
当时,y最小,且,
∴N.
(3)∵,
∴抛物线的开口向上,
∵抛物线的对称轴是直线,且,时,均有,
∴当或时,满足题意,
解得：或.
25．解：(1)根据题意可知,点的“简朴”点是,
∴点的“简朴”点的纵坐标为,即.
故答案为：.
(2)将点代入抛物线得：,解得：,
即抛物线的解析式为,
∴抛物线的“简朴曲线”为,
即.
(3)根据题意可知,点是点的“简朴”点,
∴,解得：,即,
将点代入抛物线得：,则,
∴抛物线为,
∴抛物线的“简朴曲线”为：
,
即
∵其顶点坐标为,
∴,
将n看作c的函数,
∵,
时,n有最大值,且最大值为1,
当时,,n有最小值,且最小值为,
∴当时,n的取值范围是.

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