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七上知识点汇编
2.1 有理数的分类
正整数
整数 零
有理数 负整数 有限小数或无限循环小数
正分数
分数
负分数

注意：
(1)有理数还可按正数，零，负数分类．
(2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2(为整数)表示；奇数一般用2-1或2+1(为整数)表示．
(3)正数和零常称为非负数．

2.2 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．一般规定从原点方向向右为正方向．
注意：
(1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
(2)数轴上表示的数，以零为界，零的左边表示负数，零的右边表示正数．
(3)每个有理数都可以在数轴上找到相应的点．
(4)数轴上表示的数，右边的一定比左边的大．

相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零．例如3和-3就是互为相
反数．
注意：如果与互为相反数，则有，；反之亦成立．
倒数
1除以一个不为零的数的商，叫做这个数的倒数．如3的倒数是．
??注意：
(1)如果与互为倒数，则有，反之亦成立．
??(2)倒数等于本身的数是1和-1．
??(3)零没有倒数．
2.5 绝对值
一个数的绝对值是在数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记做．正数和零的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数．即：
注意：
(1)．
(2)零的绝对值是它的本身，也可看成它的相反数，如：若则；若．
(3)正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2.6有效数字和科学记数法
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字．
把一个数记成的形式，其中：是整数，这种记数法叫
做科学记数法．
注意：如果这个数的整数数位不比要求保留的有效数字多，则可以直接用四舍五入表示出来；如果整数数位比有效数字多，一定要先用科学记数法表示，然后四舍五入表示．
例如15876保留两位有效数字是1.6×10，而不能写成16000．
3.1 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
只含有数与字母的积的代数式叫单项式．
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：这种表示就是错误的，应写成：．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：是六次单项式．
几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
单项式和多项式统称整式．
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．
注意：
(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．
(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．

3.2 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
注意：
(1)同类项与系数大小没有关系；
(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

3.3 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．
去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．

3.4 整式的运算法则
整式的加减法：
整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．
4.1 一元一次方程的概念含有未知数的等式叫方程．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的方程叫一元一次方程．能使方程两边相等的未知数的值，叫方程的解．其中方程(为未知数，)叫做一元一次方程的标准形式．是未知数的系数，是常数项．
如果是字母，则说这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程．
公式从一种形式变成另一种形式，叫做公式变形．公式变形往往就是解含有字母系数的一元一次方程．

4.2 同解方程的概念 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．如方程与方程就是同解方程．

4.3 方程的同解原理等式的性质：
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．
注意：性质(2)是等式的两边乘以(或除以)同一个不等于零的数，而没说同一个整式．
方程的同解原理：
(1)方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．
(2)方程的两边都乘以(或除以)同一个不等于零的数，所得方程与原方程是同解方程．
注意：性质(2)是方程的两边乘以(或除以)同一个不等于零的数，而没说同一个整式．

4.4 一元一次方程的解法一元一次方程的解法的一般步骤是：
(1)去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数；
(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边(记住移项要变号)；
(4)合并同类项：把方程化成的形式；
(5)系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数(当时)，得到方程的解．
注意：
(1)当解含有字母系数的一元一次方程的最后一步时，要记得说明未知数的系数不为零；
(2)在比较复杂的公式变形过程中，要把含有未知数的项进行合并，不要使所求的表示未知数的代数式中还有未知数．
例、解方程．
解：原方程可化为：，
，
．
，
．
．
??注意：这里我们在方程两边同除以含有字母的未知数的系数时，要说明它不等于零．
5.1 不等式的概念用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：，3－44－3，，等都是不等式．
五种不等号的读法及意义：
(1)“”读作“不等于” ，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
(2)“>”读作“大于” ，表示其左边的量比右边的量大；
(3)“<”读作“小于” ，表示其左边的量比右边的量小；
(4)“”读作“大于或等于” ，即“不小于” ，表示左边“不小于”右边；
(5)“”读作“小于或等于” ，即“不大于” ，表示左边“不大于”右边；
我们可以看出不等号开口所对的数较大，不等号尖口所对的数较小．

5.2 不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

5.3 用数轴表示不等式的方法一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：
(1)如图中所示：
(2)如图中所示：
(3)如图中所示：
(4)如图中所示：
用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
大于向右画，小于向左画，有等号(，)画实心点，无等号(>，<)画空心圈．

5.4 不等式的基本性质不等式基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
不等式基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
不等式基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

5.5 一元一次不等式的概念及解法 一元一次不等式的概念：
一般的，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1．
注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤．
6.1 直线的概念一根拉得很紧的线，这就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．
注意：直线是一个没有定义的原始概念，这里是结合实物描述了直线的意义，在几何里研究直线时，要想象它是向两边无限延伸的．

6.2 射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这点叫射线的端点．
注意：射线是直线的一部分，它只有一个端点，向一方无限延伸．

6.3 线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫线段．这两个点叫线段的端点．

6.4 点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形．一个点可以用一个大写字母表示．例如图1中的两点分别用字母和表示，这两点分别记作点和点．
一条直线可以用一个小写字母表示，如图1中的直线可以记作直线；一条直线也可以用在这条直线上的两个点来表示，如图1中的直线也可以记作直线．
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．如图2中的射线可以记作射线，注意，表示端点的字母要写在前面；一条射线也可以用一个小写字母来表示，如图2中射线也可以记作射线．
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示，如图3，以、为端点的线段可记作线段或线段；一条线段也可以用一个小写字母来表示，如图3中的线段可记作线段．

图1 图2 图3 图4
注意：
①表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段．
②直线和射线无长度，线段有长度．
③直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．
点和直线的位置关系有下面两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点．如图4，点在直线上，也可以说直线经过点．
②点在直线外，或者说直线不经过这个点．如图4，点在直线外，也可以说直线不经过点．

6.5 直线的性质(1)直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单的说成：过两点有且只有一条直线．
(2)过一点的直线有无数条．
(3)直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．
(4)直线上有无穷多个点．
(5)两条不同的直线至多有一个公共点．

6.6 线段的性质线段公理：所有联接两点的线中，线段最短．也可以简单说成：两点之间线段最短．
连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
线段的中点到两端点的距离相等．
线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
6.7 角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．如图1，角的顶点是点，边是射线、．也可以把角看作是一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．如图2，射线起始位置称为角的始边，终止位置称为角的终边．我们把射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部．如图3，射线绕点旋转，当终边位置和起始位置成一条直线时，所成的角叫平角；继续旋转，回到起始位置时所成的角叫做周角．平角的一半叫直角；小于直角的角叫锐角；大于直角且小于平角的角叫钝角．如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．

图1 图2 图3

6.8 角的表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有以下四种表示方法：
①用数字表示单独的角，如图中的1，2，3等．
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图中的等．
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如图中的等．
④用三个大写英文字母表示任一个角，如图中的等．
注意：
①用数字或小写的希腊字母或一个大写英文字母不能表示超过一个以上的角，如图中的等都不能用一个数字或一个小写的希腊字母或一个大写英文字母表示．
②用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧．
6.9 角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“”表示，1度记作“” ，度记作“” ．
把的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“” ．
把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“” ．
=,=．

6.10 角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的边的两条射线的幅度大小有关．
(2)角的大小可以度量，可以比较大小．
(3)角可以参与运算．

6.11 角的平分线一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
6.12 相交线、平行线（分类） 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．如图1中的与就是对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．如图1中的与就是邻补角．
这样可以得到邻补角和对顶角的重要性质：邻补角互补，对顶角相等．

图1 图2
如图2，直线、与相交(或者说两条直线、被第三条直线所截)，构成八个角．其中像与，这两个角分别在、的上方，并且在的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角．如与，与，与都是同位角；与，这两个角都在、之间，并且在的左侧，在的右侧，像这样的角叫做内错角．如与是内错角；与在直线、之间，并且在的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角．如与是同旁内角．

6.13 垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图，直线、互相垂直，记作“”(或⊥)，读作“垂直于” ．如果垂足是，记作“垂直于，垂足为” ．
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
空间里也有垂直的情况．空间中垂直的判定方法有下面两种：
直线与平面垂直的判定方法：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条
直线与这个平面垂直．
平面与平面垂直的判定方法：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两平面互
相垂直．
  6.14 平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“//”表示，如图，直线与是平行线，记作“//” ，读作“平行于” ．在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．
注意：
①平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交．
②今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行．
 6.15 平行公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．即：如果，，那么．

6.16 平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，简单的说成：同位角相等，两直线平行．
平行线的两个判定定理：
1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．
2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．
注意：上面的判定是由角的等量关系得到两直线的位置关系，判定直线平行还有下面三种判定方法：
(1)平行于同一直线的两直线平行；
(2)垂直于同一直线的两直线平行；
(3)平行线的定义．

6.17 平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

6.18 空间中的平行关系在空间里，既不相交也不平行的直线是异面直线．
在空间里，如果一条直线与一个平面没有公共点，就说这条直线与这个平面互相平行．
在空间里，如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行．
直线与平面、平面与平面平行的判定：
①不在平面内的一条直线，只要与平面内的某一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．
②如果一个平面内两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行．


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