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2025年江苏省南京市中考数学模拟练习卷（二）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．以下四个城市中2025年1月份某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 徐州 南京
A．北京 B．济南 C．徐州 D．南京
2．截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名．
全球影史票房榜第6位．其中数14900000000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.关于x的一元二次方程x2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是（ ）
A．m= B．m>- C．m> D．m＜
5 . 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，
他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，
根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0. 5 小时；
（3）乙比甲晚出发0. 5 小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地；
（6）乙行驶全程用了1.5小时．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
我如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），
点F为CE的中点，若AD=2，CD=4，则DF的最大值为（ ）
A．2 B． C．5 D．10
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7 . 计算：
8 . 不等式的最大整数解是 　 　．
9 . 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，
从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，
它的一个外角的大小为 °．
10．已知，，则的值为 ．
自俄乌战争爆发以来，国内油价已“七连涨”，电动汽车大受欢迎．
为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，
对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据的中位数是 ．
如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，
则圆锥的母线l为 ．

方程的解是 ．
共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，
点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．
已知，，，车轮半径为，，
小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为__________
（结果精确到，参考数据：，，）
如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
16 . 如图，矩形中，点M为上一点，过点M作交于点N，
将沿折叠得到，点B的对应点为点P，连接，若，，
当为以为腰的等腰三角形时，的长为
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组，并写出其整数解．
18．（7分）先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值．
19.（8分）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若平分，，，求四边形的面积．
20.（8分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，
有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，
每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，
再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，
这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲

在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．
这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
21.（8分）．“泰州太美，顺风顺水”是泰州的文旅宣传标语．小明、小亮准备采用抽签的方式，
各自随机选取泰州的3个景点（A：溱湖湿地公园，B：望海楼，C：老街）中1个景点游玩，
3支签分别标有A、B、C．
小明恰好选取A景点的概率为______；
若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，
求小明、小亮选取同一景点的概率．
（8分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，
一次函数与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
23．（8分）如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．

(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
24．（8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
（8分）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B．
点P是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)当P运动到第一象限时，过P作直线平行y轴，交直线于点M．
①求线段长度的最大值
②D为平面内任意一点，当线段最大时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形．若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
（9分）如图，在中，，以为直径作，
分别交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F．
(1)连接，求证：；
(2)若．
①求的度数
②求的半径．
27．（9分）解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径……
(1)如图①，在四边形中，，连接，
写出、与之间的数量关系，并说明理由．
(2) 如图②，是四边形的对角线．，
求的值．
(3)如图③，在等腰中，，点D，E分别在边上，，点P在内，连接，，若，则的最小值是　　．
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2025年江苏省南京市中考数学模拟练习卷（二）解答
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．以下四个城市中2025年1月份某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 徐州 南京
A．北京 B．济南 C．徐州 D．南京
【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．
故选：C．
2．截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名．
全球影史票房榜第6位．其中数14900000000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：14900000000用科学记数法表示为．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方等于乘方的积，和完全平方公式可得答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
4.关于x的一元二次方程x2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是（ ）
A．m= B．m>- C．m> D．m＜
【答案】D
【分析】关于x的方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得 到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】∵a=1，b= 1，c=m，
∴△=b2 4ac=( 1)2 4×1×m=1 4m>0，
解得：m＜.
故选：D.
5 . 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，
他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，
根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0. 5 小时；
（3）乙比甲晚出发0. 5 小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地；
（6）乙行驶全程用了1.5小时．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】根据题意和图象可知：
（1）他们都行驶了18千米．
（2）甲车停留了0.5小时．
（3）乙比甲晚出发了1-0.5=0.5小时．
（4）相遇后甲的速度＜乙的速度．
（5）乙先到达目的地．
（6）乙行驶全程用了1.5小时．
故只有（4）（5）不正确．
故选C．
我如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），
点F为CE的中点，若AD=2，CD=4，则DF的最大值为（ ）
A．2 B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，根据垂径定理得到CD=DG，推出DF=GE，得到当GE取最大值时，DF也取得最大值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，
∵CD⊥AB，即CG⊥AB，且AB是⊙O的直径，∴CD=DG，
∵点F为CE的中点，
∴DF=GE，
当GE取最大值时，DF也取得最大值，
设⊙O的半径为x时，则OD=r-2，
在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2，
∴r2=(r-2)2+42，
解得：r=5，
∴GE的最大值为10，则DF的最大值为5．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7 . 计算：
【答案】
【分析】此题考查了分式的乘除法，先计算乘法，再计算除法即可.
【详解】解：，
故答案为：.
8 . 不等式的最大整数解是 　 　．
【答案】3
【详解】，
则，即，
解得：，
故不等式的最大整数解是：3．
故答案为：3．
9 . 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，
从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，
它的一个外角的大小为 °．
【答案】
【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为，
∴它的一个外角．
故答案为：．
10．已知，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
自俄乌战争爆发以来，国内油价已“七连涨”，电动汽车大受欢迎．
为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，
对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据的中位数是 ．
【答案】215
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：共有10个数据，故中位数是第5、6位的平均数，
由条形图可知：第5位数据是：210，第6位数据是：220，
故中位数是：．
故答案为：215．
如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，
则圆锥的母线l为 ．

【答案】15
【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】解：圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：15．
方程的解是 ．
【答案】
【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
化系数为1，得：．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，
点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．
已知，，，车轮半径为，，
小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为__________
（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC BE＝67 40＝27cm．
故答案为：
如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
16 . 如图，矩形中，点M为上一点，过点M作交于点N，
将沿折叠得到，点B的对应点为点P，连接，若，，
当为以为腰的等腰三角形时，的长为
【答案】8或9
【分析】由已知条件可得出，由折叠的性质可得出，，进一步证明，将沿折叠使上H点为点P的对应点，由折叠的性质可得出，由全等的性质可得出，设，，，由勾股定理求出，，分两种情况，若，则，若，则，分别求出，进一步即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴可将沿折叠在上或的延长线上存在H点为点P的对应点，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，，
由题意可知：为等腰三角形，且为腰，
若，则，
解得：，
此时，
若，则，
解得：，
此时，
综上，为8或者9．
故答案为：8或9．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组，并写出其整数解．
【答案】﹣＜x≤4，整数解：﹣1，0，1，2，3，4．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后在确定不等式组的解集，再在解集范围内找到符合条件的整数．
【详解】解：，
由①得：x≤4，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：﹣＜x≤4，
则其整数解：﹣1，0，1，2，3，4．
18．（7分）先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件把代入计算即可．
【详解】解：原式，
要使分式有意义，且且，
所以a不能为0，1，，
取，
当时，原式．
19.（8分）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若平分，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)96
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明四边形是平行四边形是解题关键．
（1）由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论；
（2）先由证得，得出，由平行四边形的性质得，，设，则，再由勾股定理求出，，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
20.（8分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，
有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，
每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，
再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，
这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲

在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．
这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】(1)69，69，70
(2)82分
(3)小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【详解】（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
（2）解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
21.（8分）．“泰州太美，顺风顺水”是泰州的文旅宣传标语．小明、小亮准备采用抽签的方式，
各自随机选取泰州的3个景点（A：溱湖湿地公园，B：望海楼，C：老街）中1个景点游玩，
3支签分别标有A、B、C．
小明恰好选取A景点的概率为______；
若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，
求小明、小亮选取同一景点的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率的计算，利用树状图或列表法求概率．
（1）根据题意利用概率公式计算即可；
（2）列表列出等可能性即可得到本题答案．
【详解】（1）解：设小明恰好选取A景点为事件E，
根据题意知：；
（2）解：根据题意列表如下：
通过列表得知共有9种可能性，其中符合题意的可能性有3种，
∴设小明、小亮选取同一景点为事件D，
∴小明、小亮选取同一景点的概率．
（8分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，
一次函数与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】(1)；
(2)4
(3)点E的坐标为
【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解.
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
xx令，则，令，则，
∴的面积
；
；
（3）解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
23．（8分）如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．

(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键．
（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量等于900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出a的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元，
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
24．（8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6
(2)线段的长度为21.8
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6；
（2）如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为21.8 ．
（8分）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B．
点P是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)当P运动到第一象限时，过P作直线平行y轴，交直线于点M．
①求线段长度的最大值
②D为平面内任意一点，当线段最大时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形．若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
【答案】(1)
(2)存在，P的坐标是或
(3)①4；②，，
【分析】（1）把两点代入求出抛物线解析式；
（2）先确定，则判断为等腰直角三角形得到，第一种情况，当以C为直角顶点时，过点P作轴，利用，可列方程，即可求得满足条件的P点坐标；第二种情况，当以B为直角顶点时，过点P作轴，可得，从而， 即可求得满足条件的P点坐标；
（3）①求出直线解析式，根据平行y轴用二次函数表示的长度从而求出的最大值;
②分3种情况：为对角线，为对角线，为对角线．
【详解】（1）将两点代入到中得，
∴抛物线的解析式为．
（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点P作轴，垂足为T．
由抛物线的解析式可得B点坐标为（4,0）
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
设
即：，
解得：（舍去），．
∴
则 的坐标是．
第二种情况，当以B为直角顶点时，
过点P作轴，垂足为H，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：（舍去），．
∴
则的坐标是，
综上所述，P的坐标是或．
（3）① ∵，，
∴直线解析式为，
又∵行y轴，设 ，
∴，
则，
∴线段长度的最大值为4．
②当为对角线，则 ，解得，∴；
当为对角线，则 ，解得，∴；
当为对角线，则 ，解得，∴．
综上所述，符合条件的点D坐标为，，．
（9分）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F．
(1)连接，求证：；
(2)若．
①求的度数
②求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)①；②
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质即可得到，故；
（2）①设，则，，由，得到，由，可知，最后在中，由三角形内角和定理即可求解；
②根据平行线的性质以及圆周角定理得到，，，而，可证明，则，则，求解即可．
【详解】（1）证明，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，有，
解得，
故；
②设的半径为r，
∵，O为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
而，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：（舍负），
∴半径为．
27．（9分）解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径……
(1)如图①，在四边形中，，连接，
写出、与之间的数量关系，并说明理由．
(2) 如图②，是四边形的对角线．，
求的值．
(3)如图③，在等腰中，，点D，E分别在边上，，点P在内，连接，，若，则的最小值是　　．
【答案】(1)
(2)252
(3)
【分析】（1）作交延长线于点E，证明，则，即，而为等腰直角三角形，故；
（2）作，且，作，则，证明，则，可证明，故，即，角度推导得出，则解，得，，则，在中，由勾股定理得，即可得到，故；
（3）连接，过点C作，且，连接，作的外接圆，连接，先证明，则，故，因此的最小值为，而，故，由，知当点C、P、O三点共线时，取得最小值，可求，，故，因此，即的最小值为．
【详解】（1）解：作交延长线于点E，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，即；
（2）解：作，且，作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点C作，且，连接，作的外接圆，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点三点共线时，的最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值，
∵,，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
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