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2025年数学中考复习
专题一 基础夯实
二次函数
知识点1 二次函数的定义
一般地，形如，，是常数且 的函数叫作
二次函数。
知识点2 二次函数的图像及性质
1.二次函数的性质：
（1）二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）
轴的抛物线。
（2）对于二次函数，当时 抛物线开口向上
顶点为抛物线最低点；当时 抛物线开口向下 顶点为抛物线
最高点。
（3）抛物线 的顶点坐标为_ ____________，抛物线
的顶点坐标为______。二次函数 用配
方法可化为的形式，其中_ ____, _______。
（4）抛物线的对称轴为直线 。因为抛物线
是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线
是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。若抛物线上
有两点，的纵坐标相等,则抛物线的对称轴为直线 。
（5）增减性：二次函数 的图像的增减性分对称轴左
右两侧描述（数形结合理解二次函数图像的增减性）。
若，当_______时（在对称轴____侧），随 的增大而增大，
当_ ______时（在对称轴____侧），随的增大而减小；若，当
_______时（在对称轴____侧），随的增大而增大，当 _ ______时
（在对称轴____侧），随 的增大而减小。
右
左
左
右
（6）最大（小）值：①若二次函数 图像的顶点横坐
标在自变量的取值范围内，当时，函数有最____值，且当 _____
时， _______；
当时，函数有最____值，且当_____时， _______；
②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，则考虑在端点处是否取得
最值。
小
大
2.二次函数图像的画法：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
知识点3 二次函数的图像与 的关系
1.决定抛物线开口方向及大小：___ 抛物线开口向上； ___
抛物线开口向下；越大，抛物线开口______; 越小，抛物线开口
______;
2.,决定抛物线对称轴的位置： 当时，对称轴为 轴；当
时，对称轴在轴的左侧；当时，对称轴在 轴的______；
3.决定抛物线与轴交点的位置：___ 交点在轴的正半轴；
___ 交点在轴的负半轴；___ 交点在原点；
越小
越大
右侧
4.由时的点的位置决定的符号；由 时的点的位
置决定 的符号。
点在轴上方 ___0;
点在轴下方 ___0;
点在轴上方 ___0;
点在轴下方 ___0;
5.由与1的大小关系确定的符号；由与 的大小关系确
定或 的符号；
6.由的符号决定抛物线与轴的交点个数: ，抛物
线与轴有两个交点；，抛物线与 轴只有一个交点;
，抛物线与 轴无交点。
知识点4 二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：，，是常数且 ；
（2）顶点式：，，是常数且 ；
（3）两点式：，,,是常数；，
是二次函数图像与轴交点的横坐标，两点式只限于二次函数图像与 轴有
交点的情形 。
知识点5 二次函数图像的平移与对称
对不同的二次函数，如果二次项系数 相同，
那么抛物线的形状大小完全相同，只是位置不同。
反之，若几条抛物线的形状大小相同，则二次项系
数 的绝对值相同。抛物线的平移、对称、旋转过
程中， 的值不变，一般是把二次函数的解析式化
为顶点式，抓住关键点（顶点）的变化，顶点决定
抛物线的位置。
其平移对称规律归纳如下：
（1）抛物线向上平移 个单位长度后的解析
式是____________________；
抛物线向下平移 个单位长度后的解析式是
____________________；
（2）抛物线向左平移 个单位长度后的解析
式是_ ________________________；
抛物线向右平移 个单位长度后的解析式是
_ ________________________；
（3）抛物线关于 轴对称的抛物线解析式是_______
_____________；（方法是将原解析式中的___不变，把___转换为____，
再整理得到变换后的解析式）
（4）抛物线关于 轴对称的抛物线解析式是_______
___________。（方法是将原解析式中的___不变，把___转换为____，再
整理得到变换后的解析式）
知识点6 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
若二次函数的图像与 轴有交点，则交点的
横坐标就是一元二次方程 的解。反过来,解一元二次方程
也可以看成已知二次函数 ，当
时，求自变量的值，即二次函数的图像与 轴交点
的横坐标。
一般地，已知二次函数的函数值,求自变量 的
值，可看作解一元二次方程 ;反过来，解一元二次方程
可看作已知二次函数的函数值 ，
求自变量 的值。
2.直线与抛物线的交点问题
抛物线与一次函数 的交点
问题实际上是方程组的解的问题。将 代入
中，若 抛物线与直线有两个交点；若
抛物线与直线只有一个交点；若 抛物线与直线没有交点。
特别地，抛物线与轴的交点问题实际上是抛物线与直线轴
的交点问题。 抛物线与轴有两个交点； 抛物线与 轴
只有一个交点； 抛物线与 轴没有交点。
3.抛物线与轴的两个交点之间的距离公式：当 时，设抛物线
与轴两个交点为，,则, 是方程
的两个根，由根与系数的关系得, ，
所以 。
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