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第三章《 圆》全章知识点复习题
【题型1 垂径定理的应用】
1.如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
2.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
3.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
4.如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，．
(1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；
(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】
1.如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
2.如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：．
3.已知，如图，在中，，，求证：．
4.已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．
(1)如图，求证：．
(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】
1.如图，是的外接圆，D是弧的中点，连接，，．平分交于点E．
(1)写出图中一个与相等的角______；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若的半径为，，求的长．
2.如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
3.千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　．
4.如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接．
(1)设，用含的式子表示的度数；
(2)求证：；
(3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值．
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】
1.已知，为的位于圆心两侧的两条弦，且．
(1)如图1，连接，．求证：．
(2)如图2，过点作的垂线交于点．若在上取一点，使得．求证：，，三点共线．
2.如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，若，则 °．
4.如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD
(1)求证：平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长．
【题型5 切线的判定】
1.如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E．
(1)在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线．
2.如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
3.如图，是的内接三角形，是的直径，为的中点，，在的延长线上．
(1)是的切线吗？为什么？
(2)若，则的度数为______°．
4.如图，是的外接圆，是的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)点是弧的中点，点在弧上，过点作于点，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型6 切线的性质】
1.如图，为四边形的外接圆，是等边三角形，是的切线，D是的中点，的延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
2.已知为的直径，为上一点，．
(1)如图①，点是弧上一点，求的大小；
(2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长．
3.如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
4.如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且．
(1)证明：是的切线；
(2)连接，交于点F．当时，若，求的长．
【题型7 切线长定理】
1.如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
2.如图，圆的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，则长（ ）
A． B． C． D．无法确定
3.如图，为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若的长是，则的长是 ．
4.数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图(1)是示意图，点在半径的延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点在上，点落在上，当与半相切时，、就将三等分了．
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图(2)，具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点、、、、、；②分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点、，则点、、、将四等分．
(1)请你说明三分角仪的正确性；
(2)证明点、、、是四等分点．
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】
1.如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为，
(1)，求内切圆的面积；
(2)，求证：．
2.如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
3.如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
4.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【题型9 正多边形和圆的有关计算】
1.在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．

(1)如图①，求证：点H，G三等分．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：是①所作圆的切线．
2.如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3.如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
4.如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点．若的半径为1，
(1)求的长；
(2)求的度数．
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】
1.观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；……
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是 ．
2.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图1，图2，图3 ，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ．
4.李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】
1.如图， ，点A、C分别在射线上， ．
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
(2)将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
(3)求所得的劣弧与线段围成的封闭图形的面积．
2.如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．

(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
3.如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．

(1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
(2)在中是否存在长度为定值的边 若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
4.【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【题型12 不规则图形面积的计算】
1.如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
3.如图，在中，，，点O是边的中点，半圆O与相切于点D、E，若阴影部分的面积为，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
4.如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】
1.如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
(3)求点划过的路径长；
(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
2.如图，已知正方形的边长为cm，将正方形在直线上顺时针连续翻转4次，则点所经过的路径长为 ( )
A．4πcm B．πcm C．πcm D．πcm
3.如图，在矩形中，已知，将矩形绕着点在桌面上顺时针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（ ）

A． B． C． D．
4.如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
参考答案
【题型1 垂径定理的应用】
1.（1）解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
2.解：由题可知，
∵为半径，
∴尺寸，
设，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴这根圆形木材的直径为26寸．
3.解：设该圆材的半径为寸．
如图所示，过点作 于点，交于点，连接，
则寸，
设寸，尺寸，
所以 寸．
在中，
即
解得，
则，即该圆材的直径为寸．
4.（1）解：如图，连接．
，
，
，
，
，
直径小于长度；
（2）解：如图，过点O作交于点C，
在中，，，
，
，
，
水的最大深度为．
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】
1.（1）证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
（2）证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
2.证明：连接．
在中， ，
，
，、分别是半径和的中点，
，
，
，
．
3.证明：∵，，
∴，，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（2）解：．
证明：由（）得，，
在和中，
，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
同理（）可得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】
1.（1）解：∵D是弧的中点，
∴,
∴，
故答案为：（或或）；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下：
∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵CE平分，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形．
（3）解：连接OD，交AC于点F，连接OA．如图，
∵，D是弧AC的中点，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴。
2. 6
【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【详解】解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，
，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
3.解：（1）∵点，，，在半径为的上，
∴，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；
（2）连接，过点作于点，
∵，的半径为，
∴，
∴，
∵，
即当时，的面积取得最大值，
∴，即，
∴，
∴的最大值为；
（3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，当点与点重合时，取“”，
∵，
，
∴，
∵，即，
整理，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴
，
∴的最大值为
故答案为：．
4.（1）连接，，
∵是的直径，点C是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）把顺时针旋转，点对应点，连接，则，
∵，
∴与重合，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵的半径为1，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
由（2）可得，，，
∴，，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，即，
∴
∴，即
∵，
∴，
∴
整理可得，解得，
∵，
∴，
∴．
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】
1.（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
经过圆心．
∴，，三点共线
2.B
【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是解题的关键．
根据均是上的点，可得四边形是内接四边形，则，由此可求出的度数，根据是的直径，可得，由此即可求解．
【详解】解：均是上的点，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
3.110
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质定理，轴对称的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质定理及轴对称的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质定理可得，再根据轴对称的性质即得答案．
【详解】四边形是圆内接四边形，，
，
点D关于的对称点E在边上，
，
．
故答案为：110．
4.（1）证明：，，
，
平分，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
是圆的直径，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
是圆的直径，
圆的半径长是4，
．
【题型5 切线的判定】
1.（1）解：根据题意，作图如下：
则点、为所求．
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
2.解：与相切．
证明：连接．
∵，
∴．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上，
∴．
∴．
∴．
∴由，得，即．
∴与相切．
3.（1）解：是的切线，理由如下，
连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
等边三角形，
，
为的中点，
，
．
故答案为：30．
4.（1）∵是的直径,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解: 存在，，理由如下:
在上取一点，使得，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型6 切线的性质】
1.（1）证明：是等边三角形，
．
连接，
∵
则．
是的切线，
．
．
．
．
（2）解：为四边形的外接圆，．
是的中点，
∴
．
∴为直角三角形．
．
．
的面积为．
2.（1）解：连接，
为的直径，，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：连接，与相交于，
是的切线，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
．
3.（1）证明：如图，连接．
为圆O的切线，
．
平分，
．
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
是的切线．

（2）解：，
，
，
．
．
是直径，
，
，
．
在中，，，
．
．
4.（1）证明： ，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解： ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题型7 切线长定理】
1.（1）解：如下图，连接，
与相切于点E，
，
，
，
，
是的半径，，
与相切于点C，
，
在和中，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，且，
，
解得：，
，
，
点O、点A都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
，
线段，的长分别是1、．
2.A
【分析】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，同理：即可得出结论．
【详解】连接，，
，是的切线，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
故选：A．
3.
【分析】本题主要考查的知识点是：圆心角、假、张的关系，切线的性质，切线长定理以及解直角三角形的应用等知识，连接，由于C是半圆的三等分点，那么，进而可由切线长定理求得；在中根据半径的长以及的度数，可求得的值，进而可由勾股定求得的长．
【详解】解：连接，
∵C为半圆弧的三等分点，
∴，
∵，都是的切线，
∴，
在中，，则，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：
4.（1）证明：∵，
即垂直平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵与半相切，
∴平分，
∴，
即将三等分；
（2）如图2
∵是的直径，
∴
∵，．
∴，
设的半径为，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴是直角三角形且，
∴，
∴点、、、是的四等分点．
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】
1.（1）解：连接，
∵是圆O直径，圆O周长为，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵是圆O直径，弦，
∴，垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，点O是的内心，
∴，
∴
∴内切圆的面积为；
（2）如图，连接，
∵是等边三角形， ，
∴，，
∴，
∵点O是的内心，
∴，
∴
∴．
2.（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
3.（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．
∴AE==8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE EI=4．
4.（1）解：∵∠CBD=34°
∴∠CAD=34°
∵点E是△ABC的的内心
∴∠BAC=2∠CAD=68°
∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°
∴∠BEC=180°-56°=124°
（2）∵E是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC
∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD
∴∠DEB=∠DBE
∴DE=DB ．
【题型9 正多边形和圆的有关计算】
1.（1）证明：在圆内接正六边形中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形，
∴．
∴点H，G三等分．
（2）①解：如图，即为所求作．

②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则．
由（1）知，，
∴．
∵，，
∴．
∴是①所作圆的切线．
2.D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出．
【详解】解：正五边形内接于，
，
四边形是内接四边形，
，
，
故选：D．
3. 4
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键．
（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径；
（2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问．
【详解】解：（1）的面积为，
，
的直径长为，
故答案为：；
（2）如图，连接，，以、为边作，连接，
四边形为正方形，
，，
四边为平行四边形，
，
，
，
当、、共线时，最小，即为的最小值，
在中，，，
，
，
，
周长的最小值为，
故答案为：4．
4.（1）解：如图，连接，，与交于点，
由题意可知，，，
∵多边形是正八边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵所对的圆心角为，
∴所对的圆周角为，
∵，
∴．
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】
1. ，
【分析】根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论．
【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=，
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，
∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，
故结论为：AN= CM，∠NOC=60；
（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=，
同理可证：Rt△ABNRt△DAM，
∴AN= DM，∠BAN=∠ADM，
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，
故结论为：AN= DM，∠NOD=90；
（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=，
同理可证得：Rt△ABNRt△EAM，
∴AN= EM，∠BAN=∠AEM，
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，
故结论为：AN= EM，∠NOE=108；
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
在正n边形中，点M，N是上的点，且，与相交于O，结论为： ，．
故答案为： ，．
2.D
【详解】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=，
故选：D，
3.
【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此．
本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题．
【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图
由正多边形的性质知：
∴
∴
由得：
∴
即：
又∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
故答案为：．
4.（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：假设正方形边长1，
∴此时正方形的内切圆半径为，
∴；
设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】
1.（1）解：如图，过A、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作,
则即为所求；
（2）解：∵，，
，
由作图知
和分别是切线，
，
，
为等边三角形，
则长为：，
所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径设为r，
，
，
则该圆锥的底面圆的半径设为；
（3）∵，，
，
由作图知
和分别是切线，
，
，
为等边三角形，
，，
∵，
垂直平分，
平分，
，
，
劣弧与线段、围成的封闭图形的面积
．
2.（1）解：连接，

∵，
∴是圆O的直径，
∴点A、O、B三点共线，
∴，
又∵，
∴，
∵圆的直径为2，
则，
故．
∴；
（2）解：的长，
则，
解得：．
故该圆锥的底面圆的半径是．
3.（1）解：设该圆锥的底面半径为r，
由题意得．
解得，
即该圆锥的底面半径为1．
（2）存在，的长为定值．如图，连接．

∵，，
∴D为中点，E为中点．
∴为的中位线．
∴．
∵，，
∴．
∴．
4.（1），，
，
，
扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
彩带长度的最小值为．
【题型12 不规则图形面积的计算】
1.B
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵
则四边形是正方形，
，
∴，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
2.
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键．
连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可．
【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N，
则
∵，
∴，，四边形是矩形
∵，D是的中点，
∴
∴
同理
∴四边形是正方形
∴，
由题可知，，
∴
在与中，
，
∴
∴
∵
∴
故答案为
3.C
【分析】连接，根据切线长定理和切线的性质可知四边形是正方形，从而证明，由等腰直角三角形的性质推出，从而证明，利用平行线间距离相等从而得到，继而得到阴影部分的面积等于扇形的面积，从而利用得到扇形半径的长度，从而得到的长，继而得出的长．
【详解】解：连接，
∵半圆O与相切于点D、E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，．
又∵，，点O是边的中点，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∵平行线间距离相等，
∴，
∴阴影部分的面积等于扇形的面积．
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4.（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：是的直径，
，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】
1.（1）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，，
在中，，，，则，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，且，
；
（2）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，
；
（3）解：如图所示：
把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，则长度为；
（4）解：由（1）的证明过程可知，，点划过的路径是，点划过的路径是，如图所示：
由旋转性质可知，
扫过的区域的面积
．
2.B
【分析】正方形 在直线上顺时针连续翻转4次，实际点经过的路径有三段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另两段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：点经过的路径如图
因为正方形 的边长为，
所以，
所以点所经过的路径长．
故选：B．
3.B
【分析】本题考查了旋转的性质、弧长的计算、轨迹等知识，由在矩形中，已知，可求得的长，由旋转的性质，易得，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：连接，

∵在矩形中，，
，
，
根据旋转的性质可知：，
根据矩形的性质可知：，
，
，
，
∴点的运动路径长为： ．
故选B．
4.解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．

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