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第三章《圆》复习题--切线的判定与性质
【题型1 添加条件使直线为切线】
1.如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
3.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
4.在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【题型2 连半径证垂直证明是切线】
1.已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为，的半径为，求的长．
2.如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
3.如图，是的内接三角形，是的直径，为的中点，，在的延长线上．
(1)是的切线吗？为什么？
(2)若，则的度数为______°．
4.如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
(1)连接，若，求证：是半圆的切线；
(2)如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
【题型3 作垂直证半径证明是切线】
1.如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
2.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
4.如图1，为等腰三角形，是底边的中点，腰与⊙相切于点，底交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，连接，交于点，点是弧的中点，若，，求
的半径．
【题型4 由切线的性质求线段长度】
1.如图，是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（　　）
A． B． C． D．3
2.如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ．
3.如图，是⊙O的直径，，与⊙O相切于点A，交⊙O于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
4.如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ．
【题型5 由切线的性质求角度】
1.如图，在中，，圆O与交于点D，与相切于点C，，则 ．

2.如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（ ）
A．120° B．144° C．150° D．160°
4.如图分别切于A、B、E，，则（　　）

A． B． C． D．
【题型6 利用切线的性质进行证明】
1.如图，以的一边为直径作，点恰好落在上，射线与相切于点．
(1)尺规作图：过点作于点，延长交于点，连接；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）
(2)在（1）的条件下证明：．
2.如图，在中，，以为直径的交于点D，切线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3.如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
4.如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C．
(1)求证∶．
(2)若，连接，求证：四边形是菱形．
【题型7 作圆的切线】
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．
(1)的周长为______．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）
2.如图，直角梯形中，，，．
(1)尺规作出以为直径的圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：
(1)请在图1中作出的边上的高；
(2)请在图2中线段上确定一点F，使得；
(3)请在图3中作出的切线．
4.如图，，点、分别在射线、上，，．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积．
【题型8 利用切线的判定与性质判断结论正误】
1.如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交AC于点E，交BC于点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．给出以下结论：①DF是☉O的切线;②CF=EF；③其中正确结论的序号是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2.为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若切于点，则
3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4.在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线；
淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积．
A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确
【题型9 利用切线的判定与性质进行求值或证明】
1.如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段．
2.如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径的长．
3.如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求⊙O的半径．
4.如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接，若．
(1)求证：为的切线；
(2)如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长．
【题型10 切线的应用】
1.综合与实践：
任务一：确定弦的长度．如图2，求所对弦的长度．
任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
活动主题 扇面制作
活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，．
活动小组 甲组 乙组
制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
2.图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且，如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则 ．
3.粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是．
(1)求的度数；
(2)通过计算，比较与的长度哪个更长；
(3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到的最远距离．（相关数据： ）
4.一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上．木工师傅想到了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm）后，从点N沿折线切割，如图1所示．图2中的矩形是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠、无缝隙、不计损耗），则的长分别是 ．
参考答案
【题型1 添加条件使直线为切线】
1.D
【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：A、 ，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
B、 ，
，则，
，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
，
，
，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
2.4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.
【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm，，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时，与OA相切.
故答案为4.
3.60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
4.∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【题型2 连半径证垂直证明是切线】
1.（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.解：与相切．
证明：连接．
∵，
∴．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上，
∴．
∴．
∴．
∴由，得，即．
∴与相切．
3.（1）解：是的切线，理由如下，
连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
等边三角形，
，
为的中点，
，
．
故答案为：30．
4.（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
∵，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题型3 作垂直证半径证明是切线】
1.解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD -S扇形ABE
=
=．
2.解：（1）过作于
正方形ABCD，
是的切线，
为的半径，
BC与⊙O相切；
（2） 正方形ABCD，
设的半径为
3.解：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与圆D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC，
∴AC=5+3=8．
4.（1）证明：如图，连接，，过作于点．
∵，是底边的中点，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，过作于点．
∵点是的中点，
∴，
∴
∴，
∴
在和中，
∴
∴
设的半径为
由勾股定理得：DK2＋OK2=OD2
即，
解得：．
∴的半径为．
【题型4 由切线的性质求线段长度】
1.A
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，互补的性质，勾股定理是解题的关键．
如图所示，连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2.
【分析】本题考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键．根据圆的切线的性质可得，然后根据全等三角形的判定与性质，可得，再根据勾股定理及面积法列方程，即可求解答案．
【详解】解：连接，
与相切于点A，
，
，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
3.D
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，由是⊙O的直径，，得，，由切线的性质得，而，所以，则是等边三角形，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
∵是⊙O的直径，，
∴，，
∵与⊙O相切于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：D．
4.
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，对顶角的性质，勾股定义，连接，由切线的性质可得，由得，又由得到，即可根据余角性质得到，进而得到，即得到，设，则，，由勾股定理可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
即的长为，
故答案为：．
【题型5 由切线的性质求角度】
1.
【分析】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．
根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，
∴．
∵是圆的切线
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
2.A
【分析】连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得除答案．
【详解】解：连接，
∵与相切于点C，
∴半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3.A
【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．
【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴，
在五边形中，
，
故选：A．
4.B
【分析】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，根据切线的性质证明，，得到，，进而得到，再根据四边形内角和即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵分别切于A、B、E，
，
在与中，
，
，
∴，
同理，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【题型6 利用切线的性质进行证明】
1.（1）解：所作图形如图所示．
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.（1）证明：连接，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）解：连接．
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
设，在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
3.（1）解：，
，
，
是的直径，，
，
，
故的度数为；
（2）证明：连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
4.（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴
即
∵为的切线，
∴，
即．
∴，
∵
∴，
∴．
（2）连接，连接，如图，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴
∵为的切线，
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴四边形是菱形．
【题型7 作圆的切线】
1.（1）解：由勾股定理得：，
则的周长，
故答案为：12；
（2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点，
则点即为所求．
2.（1）如图所示，即为所要求作的以为直径的圆．
（2）在线段上作，连接，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴点E在上，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
∴与相切．
3.（1）解：如图1中，线段即为所求；
（2）解：如图2中，线段即为所求；
（3）解：如图3中，直线即为所求．
4.（1）如图，

（2）已知：如图，，点、分别在射线、上，，，过、分别作、的垂线，它们相交于，以为半径作，，
求证：、为的切线；
证明：∵，，
，
，
连接，
∵，，
，
∵，
，
、为的切线；
（3）∵，
为等边三角形，
，，
∵平分，
，
，
劣弧与线段、围成的封闭图形的面积 ．
【题型8 利用切线的判定与性质判断结论正误】
1.A
【分析】由DB=DC，OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，OD∥AC，由DF⊥AC，得出DF⊥OD，即DF是☉O的切线，继而证得△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，进而推出△DEC是等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质可得CF=EF，由假设推出进而即可求解．
【详解】如图,连接OD，DE，AD，
∵DB=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是☉O的切线，故①正确；
∵∠CED+∠AED=180°，∠B+∠AED=180°，
∴∠CED=∠B，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CED=∠C，
∴DC=DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF=EF，故②正确；
当∠EAD=∠EDA时， ，此时△ABC为等边三角形，当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，则
∴不一定正确，
综上，正确结论的序号是①②，
故选A．
2.C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确．
【详解】解：连接，
∵平分，
∴设，
若，
∴，
则，选项A正确，不符合题意；
若，又∵，
∴，
∴，选项B正确，不符合题意；
若切于点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，选项D正确，不符合题意；
连接，假设成立，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，即，
∴切于点，
而题设并没有是的切线这一条件，
∴假设不成立，选项C不正确，符合题意．
故选：C．
3.A
【详解】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD,
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°,
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形.
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°.
∴BD=BC，②成立.
∴AB=2BC，③成立.
∴∠A=∠C.
∴DA=DC,①成立.
综上所述，①②③均成立.
故选：A．
4.D
【分析】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接，证明即可求解；根据切线的性质，，可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度，由此即可求解．
【详解】解：∵是半圆所在圆的直径，
∴，
如图所示，连接，
∵是半径，
∴，
∵，
∴，
嘉嘉给出的条件是：，
∴，即，且点在圆上，
∴直线是半圆的切线，故嘉嘉给出的条件正确；
淇淇给出的条件：直线是的切线，且，如图所示，
∴，且是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作于，
在是等边三角形，，
∴，故淇淇给出的条件正确，
故选：．
【题型9 利用切线的判定与性质进行求值或证明】
1.（1）证明：连接，如图，
，
．
，
，
，
．
，
，
为的半径，
直线是的切线；
（2）解：连接，如图，
为的直径，
，
是等边三角形，
，
，
．
，
，
．
直线与相切，
，
，
，
为等边三角形，
．
在和中，
，
，
．
同理：，
．
．
由题意：，
，
，
长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，．
2.（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
3.（1）证明：过O点作于点E，
∵与相切于点A，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得：．
4.（1）证明：连接，
∵与相切，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
过点E作于M，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型10 切线的应用】
1.任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
，
任务二：如图，是以⊙O1 直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．

任务三：如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，

∵，，，
∴，，，
∵当与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为、，
2.
【分析】由题意得到A′A=OA -OA′=AB+OB -OA′，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
A′A=OA -OA′=AB+OB -OA′=12+4-==，
故答案为：．
3.（1）解：如图，延长交于G，
由题意得，是的切线，
∴，
∴；
（2）解：的长度更长，
∵所对的圆心角为，，
∴的长度约为，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：如图，过点O作于点E，延长交于点P，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的弦，是弦心距，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图，当粒子J运动到P点时，离的距离最远，
∴，
即粒子J到的最远距离是．
4.18cm， 31cm．
【分析】如图，延长交线段于点，延长交于点G，交于点，设圆孔半径为r．根据勾股定理，得．从而得．根据题意知，．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QH－QN2=44－26=18， AM=BC－PD－KM1=130－50－49=31 ( cm)．
【详解】解：作辅助线如图所示，设圆孔半径为r，
根据勾股定理，得．
∴，
．
按题意要求，切割后，以圆O为中心，到两对边的距离相等，
即：．
∵，
∴ QN2+r=42，即QN2=42－16=26．
∴CN=QH－QN2=44－26=18．
又∵，即 ，
∴ KM1=49．
∴AM=BC－PD－KM1=130－50－49=31．
∴CN=18cm，AM=31cm．
故答案为：18cm，31cm

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