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第八章一元二次方程单元测试鲁教五四版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x＝3 B．
C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝0
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根﹣1，则方程的另一根是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
3．一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
4．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣2＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝17 D．（x+2）2＝6
5．已知关于x的方程（c﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则c的取值范围是（　　）
A．c≥﹣3且c≠2 B．c≠2 C．c≤3 D．c≤3且c≠2
6．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣x）（32﹣x）＝540
B．（20﹣x）（32﹣x）＝32×20﹣540
C．（20﹣2x）（32﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（32﹣2x）＝32×20﹣540
7．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025
C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025
8．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+m2﹣5m的值为（　　）
A．6 B．3 C．±6 D．±3
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　 　．
10．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
11．若一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）（2x﹣1）2＝4；（2）4x2﹣4x+1＝0；（3）x2﹣2x﹣2＝0．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
15．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足2a+b+c＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为x1，x2，且，请确定a，b之间的数量关系．
16．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ 　 　，α β＝ 　 　；
（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值．
17．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元；
（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
参考答案
一、选择题
1—8：AABDCAAA
二、填空题
9．【解答】解：由题意可知：α+β＝3，αβ＝﹣2，
∴．
故答案为：．
10．【解答】解：∵方程的一个根是2，设另一根是α，
∴2α＝﹣6，α＝﹣3；
故答案为：﹣3．
11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4（k﹣1）＝0，
解得：k．
故答案为：．
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝m，
∵，
∴，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根，
Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0，
解得m＝0或m＝8；
②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意；
综上，m的值为0或8，
故答案为：0或8．
三、解答题
13．【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝4，
2x﹣1＝±2，
∴x1，x2．
（2）4x2﹣4x+1＝0，
（2x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2．
（3）x2﹣2x﹣2＝0；
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
∴x1＝1，x2＝1．
14．【解答】（1）证明：x2﹣（k+4）x+4k＝0．
∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×4k＝（k﹣4）2≥0，
∴该方程总有两个实数根
（2）解：根据求根公式得：．
∴x1＝4，x2＝k．
∴k＜1．
15．【解答】（1）证明：∵2a+b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2a﹣c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a2＞0，c2≥0
∴Δ＝4a2+c2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1；x2，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵c＝﹣b﹣2a，
∴，
整理得：，
∴，4或1，
∴a，b之间的数量关系为b＝﹣4a或b＝a．
16．【解答】解：（1）由题知，
因为α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
所以α+β＝3，αβ＝1．
故答案为：3，1．
（2）因为a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，
所以a和b可看成是方程x2﹣5x+3＝0的两个根．
因为Δ＝（﹣5）2﹣4×3＝13＞0，
所以a≠b，
所以a+b＝5，ab＝3，
所以．
（3）由a+b+c＝0，abc＝5得，
a+b＝﹣c，ab，
所以a和b可看成方程x2+cx0的两个根，
则Δ＝c20，
解得．
又因为c为正整数，
所以c的最小值为3．
17．【解答】解：（1）设条带的宽度为x cm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝10000．
解得：y1＝y2＝50．
答：当单价降低50元时能达到利润10000元．
（3）设利润为W，每件工艺品降价y元出售，
则：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝﹣20y2+1000y+10000＝﹣20（y﹣25）2+22500
∵﹣20＜0，
∴当y＝25，即：降价25元，定价为75元时，利润最大为22500．
18．【解答】解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．
理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，
（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，
故b﹣a＝0，
整理得：．
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