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第二十七章一元二次方程单元测试人教五四版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．方程x（x﹣2）＝0的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
2．一元二次方程x2﹣2x—1＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
4．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（　　）
A．2025 B． C．1 D．﹣1
5．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝42 B．
C．x（x+1）＝42 D．
6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
7．若a﹣b＝3，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx﹣12＝0的根的是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（　　）
A．19 B．20 C．14 D．15
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x﹣9＝0，当m＝　　时，是关于x的一元二次方程．
10．已知方程2x2﹣kx+4＝0的一个根是，则另一个根是 　　．
11．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是　 ．
12．已知a，b是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，则a2﹣5a+ab＝　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解下列方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）x2+4x＝5．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根乘积为﹣2，求m的值．
15．在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．
（1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
（2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
16．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
18．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且
，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　 　“限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题
1—8：CABDABDD
二、填空题
9．【解答】解：∵方程（2﹣m）x|m|﹣x﹣9＝0是一元二次方程，
∴，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．【解答】解：设另一个根是x2．
则（﹣1）x2＝，
x2＝，
x2＝，
x2＝+1．
故答案为：+1．
11．【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，且a≠0，
解得：a≤1且a≠0，
故答案为：a≤1且a≠0．
12．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴a2﹣5a﹣3＝0，ab＝﹣3，
∴a2﹣5a＝3，
∴a2﹣5a+ab＝3﹣3＝0，
故答案为：0．
三、解答题
13．【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2；
（2）x2+4x＝5，
x2+4x﹣5＝0，
（x﹣1）（x+5）＝0，
x﹣1＝0或x+5＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣5．
14．【解答】解：（1）∵已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）∵已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0，
∴x1x2＝m﹣1，
∵方程的两根乘积为﹣2，
∴m﹣1＝﹣2，
解得m＝﹣1．
15．【解答】解：（1）设这个增长率为x，
由题意得：320（1+x）2＝500，
解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%，
答：这个增长率为25%；
（2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米，
由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160，
整理得：3y2﹣44y+160＝0，
解得：y1，y2＝8，
当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去；
当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意；
∴AB＝8米，
答：重建后的养鸡场的宽AB为8米．
16．【解答】解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
组成三角形的三边长度为2、4、4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即m＝3，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；
所以三角形另外两边长度为4和2．
17．【解答】（1）证明：x2﹣（k+4）x+4k＝0．
∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×4k＝（k﹣4）2≥0，
∴该方程总有两个实数根
（2）解：根据求根公式得：．
∴x1＝4，x2＝k．
∴k＜1．
18．【解答】解：（1）x2+14x+33＝0，
（x+11）（x+3）＝0，
x+11＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣11，x2＝﹣3，
∵﹣11＜﹣3＜0，34，
∴一元二次方程x2+14x+33＝0是“限根方程“；
故答案为：是；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，
∵11x1+11x2+x1x2＝﹣121，
∴11（x1+x2）+x1x2＝﹣121，
∴﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，
整理得k2﹣11k+3＝0，
解得k1＝5，k2＝6，
当k＝5时，原方程化为x2+14x+33＝0，此方程为“限根方程”；
当k＝6时，原方程化为x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣5，
∵﹣11＜﹣4＜0，3，
∴一元二次方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“；
综上所述，k的值为5；
（3）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，
关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，
当m＜﹣1时，34，
解得﹣4＜m＜﹣3；
当﹣1＜m＜0时，34，
解得m，
综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m．
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