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第六章平行四边形单元测试卷北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．小宇看到一个多边形中，从某一顶点出发的对角线共有3条，那么这个多边形的内角和是（　　）
A．720° B．540° C．360° D．180°
4．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（　　）
A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E、P．连接OE，∠ADC＝60°，ABBC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S平行四边形ABCD＝AB AC；④AD＝4OE．其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，分别以△ABC的三边为一边作 BCED， ABFG， ACIH，且点D，E分别在FG，HI上．若 ABFG， ACIH的面积分别为S1，S2，则 BCED的面积为（　　）
A．S1+S2 B． C． D．
7．如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（　　）
A．180° B．240° C．300° D．360°
8．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为 　 　．
10．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为　 　．
11．在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　．
12．平行四边形两邻边的长为3和4，两对角线长为m，n，则m2+n2的值为 　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）求证：AF＝DE．
（2）若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
14．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝　 　°；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
15．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，BD与CE交于点F．
（1）若∠BCF＝25°，求∠EDF的度数；
（2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长．
17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．
参考答案
一、选择题
1—8：CDAACAAC
二、填空题
9．【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故答案为：84°．
10．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴其每个内角为108°，且AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠BCA＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCE﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°．
故答案为：72°
11．【解答】解：∵B（1，3），C（x，3），
∴BC∥x轴，
∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（4，0），
∴BC＝OA＝4，
①当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣4＝﹣3；
②当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+4＝5；
综上所述，x＝﹣3或5，
故答案为：﹣3或5．
12．【解答】解：设 ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC＝m，BD＝n，
作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，如图所示，
在 ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝3，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝90°，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，EF＝AD＝BC＝4，
∴BE＝CF，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2＝9，
在Rt△AEC中，AE2+EC2＝AC2＝m2，
在Rt△DCF中，DF2+CF2＝CD2＝9，
在Rt△BFD中，DF2+BF2＝BD2＝n2，
∴m2+n2
＝AE2+EC2+DF2+BF2
＝AE2+（4﹣BE）2+DF2+（4+CF）2
＝AE2+16﹣8BE+BE2+DF2+16+8CF+CF2
＝32+（AE2+BE2）+（DF2+CF2）
＝32+9+9
＝50，
故答案为：50．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，
∴AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE；
（2）解：∵AD＝16，
∴AF+EF+DE＝16，
∵AF＝DE，EF＝12，
∴AF+12+AF＝16，
解得AF＝2，
∴AB＝AE＝AF+EF＝2+12＝14，
∴ ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（16+14）＝60，即 ABCD的周长为60．
14．【解答】解：（1）①∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠PQB＝60°，
∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°；
（2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下：
如图2所示，连接EE'，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°，
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，
∴∠CPQ+∠PQA＝270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°，
由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G，
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°，
∴∠EFE'+∠EFE'＝270°，
∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'，
∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°．
15．【解答】解：（1）△OMN是等腰三角形，理由如下：
如图，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF∥AB，HE∥CD，，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HFE＝∠HEF，
∵HF∥AB，HE∥CD，
∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN，
∴∠ONM＝∠OMN，
∴OM＝ON，
∴△OMN是等腰三角形．
（2）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∴HF∥CN，HE∥BM，，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵HF∥CN，HE∥BM，
∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE，
∴∠BME＝∠CNE．
16．【解答】解：（1）连接BE．
∵将△ABC绕点A沿顺时针旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AB，AC＝AE，
∴AD＝AE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴EC＝BD．
在△DEB和△CBE中，
，
∴△DEB≌△CBE（SSS）．
∴∠EDF＝∠ECB＝25°；
（2）由旋转性质得∠DAE＝BAC＝45°，AB＝AC＝AD＝AE＝1，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AC∥DF．
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，
∵AD＝AB＝1，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°．
∴∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝45°
由勾股定理，可求得，
∵△AEC≌△ADB，
∴．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
18．【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝6，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF2，
∵EG⊥DF，
∴S△DEFDF EG EF，
∴EG，
即EG的长为．
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