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第十九章矩形、菱形、正方形单元测试华东师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，则AB的长为（　　）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
2．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分
3．已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
4．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，AD与BC相交于点F，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　）
A．56° B．62°
C．63° D．72°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A．20 B．30 C．40 D．50
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．将对角线分别为5cm和8cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 　 cm．
10．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　 　．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△ABO的周长是 　 　cm．
12．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，且．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）若∠B＝60°，AF＝4，求出矩形ADFE的周长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长．
15．如图，直线经过矩形ABCD的对角线BD的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥BD，则四边形BEDF是 　 　形，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AD＝8，BD＝10，求△BDE的面积．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．
（1）求证：EF+GH＝5cm；
（2）求当∠APD＝90°时，的值．
18．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
（1）求证：∠DAE＝∠ADE；
（2）求证：△AEB≌△DEC；
（3）当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
参考答案
一、选择题
1—8：CDCCBBCD
二、填空题
9．【解答】解：∵菱形的对角线分别为5cm和8cm，
∴菱形的面积S5×8＝20cm2，
∴正方形的边长是2（cm）．
故答案为：2．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠B＝DAB＝90°，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE＝15，
∵CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝20，
∴AB＝BC＝20，
在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝15，
由勾股定理得：AF25．
故答案为：25．
11．【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴∠ABC＝90°，OA＝OBAC，
∴AC10（cm），
∴AO＝BO＝5cm，
∴△ABO的周长为OA+OB+AB＝16（cm）．
故答案为：16．
12．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EFAB，
∵点D是边AB的中点，
∴ADAB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DEBC．
∵AFBC，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝4，
∴BC＝8，CF＝4，
∵∠C＝30°，
∴AC＝4，∠B＝60°，CE＝2，EF＝2，
∴AE＝2，
∴矩形ADFE的周长＝44．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F是AD和BC的中点，
∴AE＝DEAD，CF＝BFBC，
∴AE＝CF＝BF，
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF＝BF，
∴AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴CE＝CF，CA⊥EF，
∴∠ACE＝∠ACF，
∴∠G∠ACE∠ACF，
∴∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG，
∴∠G＝∠COG，
∵∠COF＝90°，AC＝8，EF＝6，
∴GC＝OC＝OAAC＝4，OF＝OEEF＝3，
∴CF5，
作OH⊥BC于点H，则∠OHG＝90°，
∵S△COF5OH3×4，
∴OH，
∴CH，
∴GH＝GC+CH＝4，
∴OG，
∴OG的长是．
15．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOF与△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）四边形BEDF是菱形，理由：
∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
故答案为：菱；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AD＝8，BD＝10，
∴，
设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴△BDE的面积．
16．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
17．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，AD＝10cm，
∴BC＝AD＝10cm．
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GHBPPCBC．
∴EF+GH＝5cm．
（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠APD＝90°，
在直角△APD中，AD2＝AP2+DP2，
同理，AP2＝AB2+BP2，PD2＝PC2+CD2＝PC2+AB2，
∴AD2＝AP2+DP2＝AB2+BP2+PC2+DC2＝BP2+（BC﹣BP）2+2AB2＝BP2+（10﹣BP）2+32，
即100＝2BP2﹣20BP+100+32，
解得BP＝2或8（cm），
当BP＝2时，PC＝8，EF＝1，GH＝4，这时，
当BP＝8时，PC＝2，EF＝4，GH＝1，这时，
∴的值为或4．
18．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵点E为DF中点，
∴AE＝EF＝DEDF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，
∴∠BAE＝∠CDE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（3）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB＝EC，
∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE（180°﹣30°）＝75°，
又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°．
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