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第十六章一元二次方程单元测试北京课改版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+y＝5 B．3x2﹣x＝2 C．x（x2+1）＝2 D．
2．已知方程x2﹣（k﹣1）x+2＝0有一个根是x＝﹣1，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣9＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝13 B．（x+1）2＝10 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝10
4．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A．1+x+x2＝49 B．x+x2＝49
C．（1+x）2＝49 D．x+x（1+x）＝49
6．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
7．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
8．设m，n是方程2x2+3|x|﹣2＝0的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　 　．
10．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
11．若一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．（1）解方程：2x2﹣3x+＝0；
（2）解方程：2x+6＝（x+3）2．
14．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
15．为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
（2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
16．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2m+1，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足2a+b+c＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为x1，x2，且，请确定a，b之间的数量关系．
18．定义：将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4．
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用．
（1）将多项式x2﹣6x+13配方为（x+m）2+n的形式，则m＝　 　，n＝ 　 　；
（2）若多项式A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），证明：无论x取何值，A﹣B＞0均成立；
（3）已知e，f为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为6，关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），求k的值．
参考答案
一、选择题
1—8：BABACBAB
二、填空题
9．【解答】解：由题意可知：α+β＝3，αβ＝﹣2，
∴．
故答案为：．
10．【解答】解：∵方程的一个根是2，设另一根是α，
∴2α＝﹣6，α＝﹣3；
故答案为：﹣3．
11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4（k﹣1）＝0，
解得：k．
故答案为：．
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝m，
∵，
∴，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根，
Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0，
解得m＝0或m＝8；
②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意；
综上，m的值为0或8，
故答案为：0或8．
三、解答题
13．【解答】解：（1）2x2﹣3x+＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴原方程无实数根；
（2）2x+6＝（x+3）2，
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
14．【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝＝3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
15．【解答】解：（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：192（1+x）2＝300，
解得：x1，x2（不合题意，舍去），
答：三、四这两个月的月平均增长率为25%．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（300+5m）＝3250，
解得：m1＝5，m2＝﹣50（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
16．【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4×1 （m﹣3）
＝m2+2m+21
＝（m+1）2+20
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+20＞0恒成立，
故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，，
代入x1+x2﹣2x1x2＝2m+1可得：﹣m﹣3﹣2（m﹣3）＝2m+1，
解得．
17．【解答】（1）证明：∵2a+b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2a﹣c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a2＞0，c2≥0
∴Δ＝4a2+c2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1；x2，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵c＝﹣b﹣2a，
∴，
整理得：，
∴，4或1，
∴a，b之间的数量关系为b＝﹣4a或b＝a．
18．【解答】（1）解：∵x2﹣6x+13＝x2﹣6x+32+4＝（x﹣3）2+4，
∴m＝﹣3，n＝4，
故答案为：﹣3，4；
（2）证明：∵A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），
∴A﹣B＝2x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3）
＝2x2﹣4x﹣x2+9
＝x2﹣4x+9
＝x2﹣4x+4+5
＝（x﹣2）2+5，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+5＞0，
∴A﹣B＞0；
（3）解：∵e，f为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为6，
∴e2+f2＝62，
即e2+f2＝36，
∵关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），
（y﹣e）（y﹣f）＝y2﹣（e+f）y+ef，
（y﹣4）2+k＝y2﹣8x+16+k，
∴e+f＝8，ef＝16+k，
∵（e+f）2＝e2+2ef+f2，
∴82＝36+2（16+k），
∴2k＝﹣4，
∴k＝﹣2．
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