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第九章中心对称图形—平行四边形单元A卷苏科版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．正六边形最少旋转n度后能与自身重合，则n为（　　）
A．30 B．45
C．60 D．90
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等，邻角互补
B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
5．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
7．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②△DBF≌△ABC；③四边形AEFD是平行四边形；
④∠DFE＝110°；⑤S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，MN过 ABCD对角线的交点O，交AD于点M，交BC于点N，若 ABCD的周长为20，OM＝2，则四边形ABNM的周长为　 　．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是 　 　．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1．连接AE，则AE的长为　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O．
（1）求证：OEEC；
（2）若OD＝2，求AB的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，CE，AE交于点E，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE交AC于点F，交CD于点G，若DE＝CE，CD＝2，求OF的长．
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
17．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（不与B、C重合），CM是外角∠DCN的平分线，点F在射线CM上．
（1）当∠CEF＝∠BAE时，判断AE与EF是否垂直，并证明结论；
（2）若在点E运动过程中，线段CF与BE始终满足关系式CF＝BE．
①连接AF，证明的值为常量；
②设AF与CD的交点为G，△CEG的周长为a，求正方形ABCD的面积．
18．已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO上一点．
（1）如图，AQ⊥DM于点N，交BO于点Q．
①求证：OM＝OQ；
②若DQ＝DC，求的值．
（2）如图，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝4，EF＝，则AF+ME的最小值是 　　，当AF+ME取得最小值时DF的长为 　　．
参考答案
一、选择题
1—8：CCBBBBDB
二、填空题
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD+AD＝10，∠OAM＝∠OCN，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴OM＝ON＝2，AM＝CN，
则四边形ABNM的周长＝BN+AB+AM+MN＝（BN+AM）+AB+MN＝BC+AB+MN＝10+4＝14．
故答案为：14．
10．【解答】解：∵∠AFC＝90°，
∴△AFC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，AC＝12，
∴，
∵F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF，
∴，
∴DE＝DF+EF＝8，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴BC＝2DE＝16，
故答案为：16．
11．【解答】解：当点E在OB上或在OD上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OBAC，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
①当点E在OB上时，OE＝1，
∴BE＝1，
∴E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
∴OA＝2，
∴AE；
②当点E在OD上时为E′，
∴EE′＝2，
∴AE′．
则AE的长为：或．
故答案为：或．
12．【解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8，
∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°，
∴，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC＝180°，
∴∠PFD＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF＝DP，
要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，
∵，
∴，
故EF的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵ED，EF是中位线，
∴ED∥FC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵对角线CE和DF相交于点O，
∴OE；
（2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2，
∴DF＝2OD＝4，
∵ED，EF是△ABC的中位线，
∴点D，F分别是AC，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF，
∴AB＝2DF＝8．
14．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
在△AEC和△AED中，
，
∴△AEC≌△AED（ASA），
∴CE＝DE；
（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴，
∵△AEC≌△AED，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴．
15．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴，
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AC⊥DE，CD＝CE，OD＝OE，
∵DE＝CE，CD＝2，
∴DE＝CE＝CD＝2，△CDE为等边三角形，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°，OD＝OE＝1，∠DEC＝60°，
∴BC∥DE，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴四边形BCED是菱形，
∴，
∴EF＝2OF，
由勾股定理得OF2＝EF2﹣OE2，即OF2＝（2OF）2﹣12，
解得．
16．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴S△ABF，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴AE，
∴DF＝AE．
17．【解答】（1）解：垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠CEF＝∠BAE，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF；
（2）①证明：如图1，
作FG⊥BN于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCN＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∵CMP平分∠DCN，
∴∠DCM＝∠MCN＝45°，
∴CF＝，
∵CF＝，
∴BE＝CG＝CF，
∴BE+EC＝CG+EC，
∴BC＝EG，
∴EG＝AB，
∵∠FCG＝∠B＝90°，
∴△ABE≌△EGF（SAS），
∴AE＝EF，∠FEG＝∠BAE，
∴由（1）得：∠AEF＝90°，
∴＝；
②解：如图2，
在CB的延长线上截取BH＝DG，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABH＝∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD，
∴△ABH≌△ADG（SAS），
∴∠DAG＝∠BAH，AH＝AG，
由①知：∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAG＝45°，
∴∠BAE+∠BAH＝45°，
∴∠EAH＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEH≌△AEG，
∴EG＝EH＝BH+BE＝DG+BE，
∴EG+CG+EC＝DG+BE+CG+EC＝CD+BC＝2BC＝a，
∴BC＝，
∴S正方形ABCD＝BC2＝．
18．【解答】（1）①证明：∵在正方形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝AC，OD＝BD，
∴OA＝OD，
∵AQ⊥DM，
∴∠DNQ＝∠AOQ＝90°，
∴∠QAO＝∠ODM，
∴△AOQ≌△DOM（ASA），
∴OQ＝OM；
②证明：连接ON，作OP⊥ON于O交MD于点P，
∴∠NOP＝∠QOM＝90°，
∴∠NOP﹣∠NOM＝∠QOM﹣∠NOM，
即∠NOQ＝∠POM，
由（1）得△AOQ≌△DOM，
∴OQ＝OM，∠NQO＝∠PMO，AQ＝MD，
∴△NOQ≌△POM（ASA），
∴ON＝OP，QN＝MP，
∴QN+NM＝MP+NM＝NP，
又NP＝ON，
∴QN+NM＝ON，
∵DQ＝DA，AQ⊥DM，
∴AN＝NQ，
∵∠AOQ＝90°，
∴AQ＝2ON，
∴NQ+NM＝AQ＝MD，
∴＝；
（3）解：∵正方形ABCD中，AB＝4，
∴BD＝4，
∴OD＝2，
取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H，
∵M为AO的中点，
∴MP∥OD，MP＝OD＝，
∵EF＝，
∴EF＝MP，
∴四边形MEFP为平行四边形，
∴ME＝PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A，C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∵AF+ME＝CF+FP≥CP，
即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长，
∵PD＝2，CD＝4，
∴PC＝＝＝2，
∴AF+ME的最小值为2，
∴DF＝BF＝BD＝＝．
故答案为：2，．
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