安徽省六安市六安二中河西校区2024-2025学年高二下学期期中数学试卷(pdf版,含答案)

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安徽省六安市六安二中河西校区2024-2025学年高二下学期期中数学试卷(pdf版,含答案)

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2024-2025 学年安徽省六安二中河西校区高二(下)期中
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知 1 +1 = 28,那么 =( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.函数 ( ) = 2 (2 )的单调递减区间为( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. (0,2) D. (2, + ∞)
3.国家提出“乡村振兴”战略,各地纷纷响应.某县有 7 个自然村,其中有 4 个自然村根据自身特点推出乡
村旅游,被评为“旅游示范村”.现要从该县 7 个自然村里选出 3 个作宣传,则恰有 2 个村是“旅游示范村”
的概率为( )
A. 12 B. 1835 35 C.
4
7 D.
3
7
4.函数 ( ) = 1 24 , ′( )是 ( )的导函数,则 ′( )的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.将编号为 1,2,3,4,5 的小球放入编号为 1,2,3,4,5 的小盒中,每个小盒放一个小球,要使得恰
有 2 个小球与所在盒子编号相同,则有( )种不同的放球方法.
A. 60 B. 40 C. 30 D. 20
6.已知函数 = 3 3 + 的图象与 轴恰有两个公共点,则 =( )
A. 2 或 2 B. 9 或 3 C. 1 或 1 D. 3 或 1
7.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一
种几何排列,俗称“杨辉三角形”,若将这些数字依次排列构成数列 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,
4,6,4,1,……,则此数列的第 2025 项为( )
A. 763 B. 863
C. 7 864 D. 64
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8.已知函数 ( ) = 2 ,则( )
A. (3) < (1) B. ′( ) < ( )
C. ( ) + ( 3) < 0 D. (sin 111 ) > ( 1.1)
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 52 + … + 5 ,则下列结论正确的是( )
A. 3 = 80 B. 4 ≥ | |( = 0,1, …, 5)
C. | | + | | + | | + | | + | | = 242 D. 1 + 2 3 41 2 3 4 5 2 22 + 23 + 24 = 0
10.已知随机变量 ~ (4,2),若 ( > 6) = , (4 < < 6) = ,则( )
A. + = 12 B. ( < 2) = C. (2 + 1) = 4 D. (2 + 1) = 8
11.现有编号分别为 ( = 1,2,3)的三个盒子,其中 1盒中共 20 个小球,其中红球 6 个, 2盒中共 20 个小
球,其中红球 5 个, 3盒中共 30 个小球,其中红球 6 个.现从所有球中随机抽取一个,记事件 :“该球为
红球”,事件 :“该球出自编号为 ( = 1,2,3)的盒中”,则下列说法正确的是( )
A. ( | 1) =
3
10
B. ( ) = 935

C. ( 2| ) =
12
17
D.若从所有红球中随机抽取一个,则该球来自 2盒的概率最小
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是______;
13.若 是曲线 ( ) = 2 2 上任意一点,则点 到直线 = 3 6 的最小距离为______.
14.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技,是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法,
王老师获得了川剧演出的 7 张连号的票,王老师自己留下了 2 张连号的票,其余的票赠送给 4 位朋友,每
人至少分 1 张,至多分 2 张,且这两张票连号,那么共有______种不同的分法. (用数字作答)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + (其中常数 , ∈ ), ( ) = ( ) ′( )是奇函数,
(1)求 ( )的表达式;
(2)求 ( )在[1,3]上的最大值和最小值.
16.(本小题 15 分)
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2
设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30 之前到校的概率均为3 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,
且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用 表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数,求随机变量 的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设 为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的天数恰
好多 2”,求事件 发生的概率.
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ,其中 为常数.
(1)当 = 1 时,讨论函数 ( )在(0, + ∞)上的单调性;
(2)若 ∈ (0, 2 ), ( ) > 1 恒成立,求实数 的取值范围.
18.(本小题 17 分)
高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动 芯片试生产,试产期需进行产品检测,检
测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成,包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指
49 48 47
标,且智能检测三项指标达标的概率分别为50,49,48,人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的
产品进行抽样检测,且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为 (0 < < 1).
(1)求每个 芯片智能检测不达标的概率;
(2)人工检测抽检 50 个 芯片,记恰有 1 个不达标的概率为 ( ),当 = 0时, ( )取得最大值,求 0;
(3)若 芯片的合格率不超过 93%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的 0作为 的值,试判断该企业是
否需对生产工序进行改良.
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ( ∈ ).
(1)当 = 1 时,讨论 ( )极值点的个数;
(2)讨论函数 ( )的零点个数的情况.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.58
13. 102
14.480
15.解:(1) ∵ ( ) = 3 + 2 + (其中常数 , ∈ ),
∴ ′( ) = 3 2 + 2 + ,
∴ ( ) = ( ) ′( ) = 3 + 2 + 3 2 2 ,
∵ ( ) = ( ) ′( )是奇函数,
∴ 3 = 0, = 0,
∴ ( ) = 3 + 3 2,
(2) ∵ ′( ) = 3 2 + 6 , ∈ [1,3]
∴ ( ) = 3 6 ,
∴ ′( ) = 3 2 6,
令 ′( ) = 3 2 6 = 0,解得 = 2,
当 ′( ) > 0 时,即 2 < ≤ 3,函数单调递增,
当 ′( ) < 0 时,即 1 ≤ < 2,函数单调递减,
∴ ( ) = ( 2) = 2 2 6 2 = 4 2,
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∵ (1) = 1 6 = 5, (3) = 27 18 = 9,
∴ ( ) = (3) = 9
16.解:( ) 2甲上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均为3,
故 ~ (3, 23 ),
2 1
从而 ( = ) = 3( 3 3 ) ( 3 ) , = 0,1,2,3.
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
( ) = 3 × 23 = 2;
( )设乙同学上学期间的三天中 7:30 2到校的天数为 ,则 ~ (3, 3 ),
且 = { = 3, = 1} ∪ { = 2, = 0},
由题意知{ = 3, = 1}与{ = 2, = 0}互斥,
且{ = 3}与{ = 1},{ = 2}与{ = 0}相互独立,
由( )知, ( ) = ({ = 3, = 1} ∪ { = 2, = 0})
= ({ = 3, = 1}) + ({ = 2, = 0})
= ( = 3) ( = 1) + ( = 2) ( = 0)
= 8 × 2 + 4 × 1 = 2027 9 9 27 243.
17.解:(1) = 1 时, ( ) = , ′( ) = + ,
因为 ∈ (0, + ∞),有 > 1, 1 ≤ ≤ 1,所以 ′( ) = + > 0,
于是函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增.
(2) ( ) > 1,即 1 > 0.

因为 ∈ (0, ) 12 ,所以 > 0,于是 < .

( ) = 1 ( + )

令 ,则 ′( ) = cos2 .
当 ∈ (0, 2 )时, > 1,0 < < 1, +
3
4 ∈ ( 4 , 4 ),sin( +

4 ) ∈ (
2
2 , 1],
则有( + ) = 2sin( + 4 )
> > 0,
于是 ′( ) > 0,所以 ( )在(0, 2 )上是增函数, ( ) > (0) = 0,所以 ≤ 0.
即实数 的取值范围为( ∞,0].
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18.解:(1)记事件 =“每个 芯片智能检测不达标”,则 ( ) = 1 ( ) = 1 49 48 47 350 × 49 × 48 = 50.
(2)由题意 ( ) = 1 4950 (1 ) ,
则 ′( ) = 50[(1 )49 + × 49(1 )48 × ( 1)] = 50(1 )48(1 50 ),
令 ′( ) = 0,则 = 150,
1
当 0 < < 50, ′( ) > 0, ( )为增函数;
1
当 > 50, ′( ) < 0, ( )为减函数;
1
所以 ( )在 0 = 50处取到最大值.
(3)记事件 =“人工检测达标”,
1 49
则 ( | ) = 1 50 = 50,

( ) = 1 3 47又 50 = 50,

所以 ( ) = ( ) ( | ) = 47 4950 × 50 = 92.12% < 93%,
故需要对生产工序进行改良.
19.解:(1)当 = 1 时, ( ) = + 1, ′( ) = 1 ( > 0).
记 ( ) = 1 ( > 0),则 ′( ) =
+ 1 2 > 0,
∴ ′( )在(0, + ∞)上单调递增,
又 ′( 12 ) = 2 < 0, ′(1) = 1 > 0,
∴ ′( )在( 12 , 1)上存在零点 0,且是唯一零点.
当 ∈ (0, 0)时, ′( ) < 0, ( )单调递减,
当 ∈ ( 0, + ∞)时, ′( ) > 0, ( )单调递增.
∴ 0是 ( ) = + 1 的极小值点,且是唯一极值点.
(2) 1 1①当 = 时, ( ) = ≠ 0.
1
②当 ≠ 时,令 ( ) = 0,得 +

= 0,即 =
1
+1 ( > 0 且 ≠ ).
= , ( ) =

令 +1 ( > 0 且 ≠
1
),

只需讨论直线 = 和 ( ) = +1 ( > 0 ≠
1
且 )的图象有几个交点.
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( +1 1)
′( ) = 2 ( > 0 且 ≠
1
).( +1)
令 ( ) = + 1 1 ,则 ′( ) =
1 1 1
+ 2 > 0( > 0 且 ≠ ),
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增,而 (1) = 0,
1 1
故当 ∈ (0, )和( , 1)时, ( ) < 0,即 ′( ) < 0, ( )是减函数;
当 ∈ (1, + ∞)时, ( ) > 0,即 ′( ) > 0, ( )是增函数.
又∵当 ∈ (0, 1 )时, ( ) < 0,当 ∈ (
1
, + ∞)时, ( ) > 0,
∴作函数 ( )的图象如图:
结合图象可知,当 < 0 或 = 时, = 和 ( )的图象有一个交点,即 ( )有一个零点;
当 0 ≤ < 时, = 和 ( )的图象没有交点,即 ( )没有零点;
当 > 时, = 和 ( )的图象有两个交点,即 ( )有两个零点.
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