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2024-2025 学年天津市耀华中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1 1.若复数 满足(1 + 2 ) = 1+ ，则 的虚部是( )
A. 310 B.
3 C. 310 10 D.
3
10
2.一个正四面体边长为 3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为( )
A. 9 2 B. 3 3 C. 9 6 D. 3 2
3.设在△ 中，点 为 边上一点，且 = 2 ，点 为 边上的中点.若 = ， = ，则 =( )
A. 3 32 B. 2 C. + 2 D.
3
2 2
4.在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 1，动点 满足 = + 1， ∈ (0,1)，则下列几何体体
积为定值的是( )
A.四棱锥 1 1
B.四棱锥 1 1
C.三棱锥 1 1
D.三棱锥 1
5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 ，侧面积分别为 甲和 乙，体积分别为 甲

和 . 甲 = 2 甲乙 若 ，则 =( )
乙 乙
A. 5 B. 2 2 C. 10 D. 5 104
6.如图，在△ 中，∠ = 120°， = 2， = 1， 是 边上靠近 点的三等分点， 是 边上的动
点，则 的取值范围为( )
A. [ 7 , 10 ] B. [ 7 77 3 7 , 3 ]
C. [ 4 , 10 4 73 3 ] D. [ 3 , 3 ]
7.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷.宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，
出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实.图 1 为宋代的影青瓷花口盏
及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为 6 ，
上面的花口盏是底面直径分别为 8 和 10 的圆台，下面的盏托由底面直径 8 的圆柱和底面直径分别为
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12 和 8 的圆台组合构成，示意图如图 2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为( )
A. 248 3 B. 274 3 C. 354 3 D. 370 3
8 2 .在△ 中， 为边 上一点，∠ = 3， = 4， = 2 ，且△ 的面积为 4 3，则 sin∠ =( )
A. 15 3 B. 15+ 38 8 C.
5 3 5+ 3
4 D. 4
9.已知 = 13 , =
1
7，且 ， ∈ (0, )，则 2 =( )
A. 4 B.
3 3
4 C. 4 D. 4或4
10.已知 sin( ) = 1 13， = 6，则 cos(2 + 2 ) =( )
A. 79 B.
1
9 C.
1
9 D.
7
9
11.若向量 , , 满足| | = 3, | | = 2, | | = 1，且向量 与向量 的夹角为 ，则(2 3 ) (3 + )的最大值是
( )
A. 53 6 7 B. 40 C. 64 D. 53 + 6 7
12 △ .已知 中，| | = 8，| | = 2，且| + (2 2 ) 2 |( ∈ )的最小值为 2 3，若 为边 上任
意一点，则 的最小值是( )
A. 514 B.
49 9 25
4 C. 16 D. 16
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
13.已知 5+14 是虚数单位，化简 2+3 的结果为______．
14.已知向量 = ( 2,2), = (1,1)，则 在 方向上的投影向量为______．
15.已知圆柱底面圆的周长为 2 ，母线长为 4，则该圆柱的体积为______．
16.函数 ( ) = 3 2 + 2 2 在区间[ 6 , 6 ]上的最大值为______．
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17.在正方形 1中，边长为 1. 为线段 的三等分点， = ， 2 = + ，则
+ = ______；若 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为______．
18.如图 1 所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由 6 对(12 个)平行五角星面组成的，
每对平行五角星面角度关系如图 2 所示.一个星形十二面体有 个星芒(凸起的正五棱锥)，将所有的星
芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．
(参考数据：tan218° = 1 2 55 )
三、解答题：本题共 3 小题，共 28 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 6 分)
已知复数 1 = ( + )2， 2 = 4 3 ，其中 是实数．
(1)若 1 = 2，求实数 的值；
(2) 若 1 是纯虚数，求 的值．2
20.(本小题 11 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 = ．
( )求角 的大小；
(Ⅱ)若 = 1 2 7， = 7 ，求 的值；
(Ⅲ)若 = 2，当△ 的周长取最大值时，求△ 的面积．
21.(本小题 11 分)

已知函数 ( ) = 2 3cos2( 2 + ) 2 ( + ) 3．
(1) ∈ [ 当 4 , 2 ]时，求 ( )的最大值和最小值，以及相应 的值；
(2) 14 3 若 ( 0 6 ) = 25， 0 ∈ [ 4 , ]，求 2 0的值；
(3) 已知函数 ( ) = 2 2( ) 3 ( ) + 2 1 在[ 6 , 2 ]上存在零点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.4 +
14.( 1, 1)
15.4
16.3
17.4 53 18
18.12；1： 5
19.解：(1) ∵复数 1 = ( + )2， 2 = 4 3 ， 1 = 2，
2
∴ ( + )2 = 2 1+ 2 = 3 + 4 ，即 1 = 3，解得 = 2．
2 = 4
(2) 1 = ( + )
2 ( 2+2 1)(4+3 ) (4 2 6 4)+(3 2+8 3)
2 4 3
= (4+3 )(4 3 ) = 25 ，
∵ 1 是纯虚数，2
∴ 4
2 6 4 = 0 1
3 2
，解得 = 2 或 = 2．+ 8 3 ≠ 0
20.解：(Ⅰ)因为 2 =

，由正弦定理可得 2 = ，
在△ 中， > 0，
cos 可得 2 = 2

2 cos 2，
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因为 ∈ (0, ) ，所以2 ∈ (0, 2 )，可得 cos 2 > 0，
sin 1 可得 2 = 2，可得2 = 6，
即 = 3；
(Ⅱ) = 1 = 2 7 = 1 cos2 = 1 4 = 21， 7 ，可得 7 7 ，
1
由正弦定理可得： = ，即 3 = 21，
2 7
解得 = 72 ；
(Ⅲ) = 2，当△ 的周长取最大值时，即 + + 最大，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
可得( + )2 = 2 + 3 ≤ 2 + 3 ( + 2 )
2，当且仅当 = 时取等号，
可得( + )2 ≤ 4 2 = 16，所以( + ) = 4，
3
即此时三角形的周长最大，此时 2△ = 4 × 2 = 3．
21.解：(1)根据题意，可得 ( ) = 2 3sin2 + 2 3 = 3(1 2 ) + 2 3

= 2 3 2 = 2( 2 3 2 3 ) = 2 (2 3 ).
∈ [ , ] 2 ∈ [ 2 当 4 2 时， 3 6 , 3 ]，
5
由正弦函数的性质，可知 ( )在[ 4 , 12 ]上为增函数，在[
5 , 12 2 ]上为减函数．
= 5 当 12时， ( )有最大值 2 2 = 2；当 = 4时， ( )有最小值 2

6 = 1．
(2) ( ) = 2 [2( ) ] = 2 (2 2 ) = 14 sin(2 2 7因为 0 6 0 6 3 0 3 25，所以 0 3 ) = 25．
3 5 2 4 2 2 24
因为 24 ≤ 0 ≤ ， 6 ≤ 2 0 3 ≤ 3，所以 cos(2 0 3 ) = 1 sin (2 0 3 ) = 25，
2 = sin[(2 2 ) + 2 ] = sin(2 2 )cos 2 可得 0 0 3 3 0 3 3 + cos(2
2
0 3 )sin
2 7 1 24 3
3 = 25 × ( 2 ) 25 × 2 =
24 3+750 ．
(3)方程 ( ) = 2 2( ) 3 ( ) + 2 1 = 0，即 1 2 = 2 2( ) 3 ( )．
当 ∈ [ , 6 2 ]时，2

3 ∈ [0,
2
3 ]，可得 ( ) = 2 (2

3 ) ∈ [0,2]．
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所以 = 2 2( ) 3 ( ) = 2[ ( ) 3 ]24
9
8，当 ( ) =
3 94时取得最小值 8，当 ( ) = 2 时取得最大值 2．
9 1 17
因此，若 ( ) = 0 存在实数根，则 1 2 ∈ [ 8 , 2]，解得 ∈ [ 2 , 16 ].
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