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2024-2025 学年吉林省长春市德惠一中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ( ) = 3 + 1， ′′( 0) = 4，则 0的值为( )
A. ±3 3 B. ±1 C. 1 D. 1
2.已知随机变量 的分布规律为 ( = ) = 2( = 1,2,3)，则 ( = 2) =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 17 3 4 7
3.现将 ， ， ， ， ， 六名学生排成一排，要求 ， 相邻，且 ， 不相邻，则不同的排列方式有( )
A. 144 种 B. 240 种 C. 120 种 D. 72 种
4.若(2 1)4 = 4 4 + 3 3 + 22 + 1 + 0，则 0 + 2 + 4 =( )
A. 40 B. 40 C. 41 D. 82
5 1.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是2，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为
100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是 0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为( )
A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0
6.北京市某高中高一年级 5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、
“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为( )
A. 60 B. 90 C. 150 D. 240
7.下列函数中，在(2, + ∞)内为增函数的是( )
A. = 3 B. = ( 3) C. = 3 15 D. =
8.某公司参加两个项目的招标， 项目招标成功的概率为 0.6， 项目招标成功的概率为 0.4，每个项目招标
成功可获利 20 万元，招标不成功将损失 2 万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为( )
A. 17.5 万元 B. 18 万元 C. 18.5 万元 D. 19 万元
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( )的定义域为 ，它的导函数 = ′( )的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有( )
A. = 1 是 ( )的极小值点
B. ( 2) > ( 1)
C.函数 ( )在( 1,1)上有极大值
D.函数 ( )有三个极值点
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10.在(2 1 6 ) 的展开式中，下列命题正确的是( )
A.二项式系数之和为 64 B.所有项系数之和为 1
C.常数项为 60 D.第 3 项的二项式系数最大
11 1.若随机变量 服从两点分布，其中 ( = 0) = 3， ( )， ( )分别为随机变量 的均值与方差，则下列结
论正确的是( )
A. ( = 1) = ( ) B. (3 + 2) = 4
C. (3 + 2) = 4 D. ( ) = 94
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 为正整数，若 2 +5 = 3 114 14 ，则 = ．
13.袋中有 10 个外形相同的球，其中 5 个白球，3 个黑球，2 个红球，从中任意取出一球，已知它不是白
球，则它是黑球的概率是______．
14.函数 ( ) = 的值域是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1( ∈ )．
(1)求函数 ( )的单调区间和极值．
(2)若 2 1 ≤ ( )对 ∈ [ 2,4]恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
2
已知在( + ) ( ∈ 2 3 )的展开式中，第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比值为 2．
(1)求 的值；
(2)求展开式中含 4的项．
17.(本小题 15 分)
有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
18.(本小题 17 分)
一盒中装有大小和质地相同的 3 个白球和 2 个红球，现从该盒中任取 2 球，记随机变量 表示从该盒中取
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出的红球个数．
(1)求随机变量 的分布列；
(2)求随机变量 的期望和方差．
19.(本小题 17 分)
某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有
两次面试的机会.考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面
试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试.若两次笔试均未通过或通过了笔
试但两次面试均未通过，则考试失败.甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通
1 1
过的概率均为2，每次参加面试通过的概率均为3，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数 的分布列及期望．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.35
14.[ 1 , + ∞)
15.解：(1)因为 ( ) = 3 3 2 9 + 1( ∈ )，
则 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( + 1)( 3)，
合 ′( ) = 0，可得 = 1 或 = 3，列表如下：
( ∞, 1) 1 ( 1,3) 3 (3, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 ( )的增区间为( ∞, 1)、(3, + ∞)，减区间为( 1,3)，
函数 ( )的极大值为 ( 1) = 1 3 + 9 + 1 = 6，极小值为 (3) = 27 27 27 + 1 = 26．
(2)由(1)可知，函数 ( )在区间[ 2, 1]上单调递增，在[ 1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，
且 ( 2) = 8 12 + 18 + 1 = 1，故当 ∈ [ 2,4]时， ( ) = { ( 2), (3)} = (3) = 26，
因为 2 1 ≤ ( )，对 ∈ [ 2,4]恒成立，则 2 1 ≤ ( ) = 26，解得 ≤
25
2，
25
因此，实数 的取值范围是( ∞, 2 ]．
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316.解：(1) ( 1)( 2) 2×1 2由题知： 2 = 3×2×1 × ( 1) = 3 = 2，解得 = 8．
1 4
(2) +1 = 8(
)8 2 (2
3) = 22 8 8
8 3 ，0 ≤ ≤ 8， ∈ ，
令 8 43 = 4，得 = 3，所以展开式中含有
4的项为： = 22×3 8 3 44 8 = 14 4．
17.解：(1)先选后排，先取可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有 3 2 4 15 3 + 5 3种，后排有 55种，
共( 3 2 4 1 55 3 + 5 3) 5 = 5400 55 = 5400(种)．
(2)先选后排，但先安排该男生，有 47 14 44 = 3360(种)．
(3)先从除去该男生、该女生的 6 人中选 3 人有 36种，
再安排该男生有 13种，其中 3 人全排有 33种，
共 36 1 33 3 = 360(种)．
18.解：(1)根据题意可得 = 0，1，2，
2 1 1 2
又 ( = 0) = 3 = 3 3 2 6 2 1
25 10
, ( = 1) = 2 = 10 , ( = 2) = 2 =5 5 10
，
所以 的分布列如下：
0 1 2
3 6 1
10 10 10
(2)根据(1)可得 ( ) = 0 × 310 + 1 ×
6 1 4
10 + 2 × 10 = 5； ( ) = (
2) ( ( ))2 = 1 16 = 925 25．
19.解：(1) 1 1 1 2甲每次参加笔试未通过的概率为 1 2 = 2，每次参加面试未通过的概率为 1 3 = 3，
1 1 1
甲两次笔试均未通过的概率为2 × 2 = 4，
1 2 2 2
甲通过第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为2 × 3 × 3 = 9，
1 1 2 2 1
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为2 × 2 × 3 × 3 = 9，
1 2
所以甲在一年内考试失败的概率为4+ 9+
1 7
9 = 12；
(2)由题意得 的可能取值为 2，3，4，
( = 2) = 1 1 1 1 52 × 2 + 2 × 3 = 12，
( = 3) = 1 1 1 1 2 52 × 2 × 3 + 2 × 3 = 12，
( = 4) = 12 ×
1
2 ×
2
3 =
1
6，
所以 的分布列为
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2 3 4
5 5 1
12 12 6
( ) = 2 × 512 + 3 ×
5 1 11
12 + 4 × 6 = 4．
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