上海师大附中闵行分校、宝山分校2024-2025学年高二下学期期中数学试卷(pdf版,含答案)

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上海师大附中闵行分校、宝山分校2024-2025学年高二下学期期中数学试卷(pdf版,含答案)

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2024-2025 学年上海师大附中闵行分校、宝山分校高二(下)期中
数学试卷
一、单选题:本题共 4 小题,共 20 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则 ⊥ 是 // 的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2 2 2 22 .若椭圆 + ≥ 1( > > 0)

和双曲线 = 1( , > 0)有相同的焦点 1和 2,而 是这两条曲线的一
个交点,则| 1| | 2|的值是( )
A. + B. 12 ( + ) C.
2 2 D.
3.在等腰直角△ 中, = = 6,点 是边 上异于端点的一点,光线以点 出发经 、 边反射后
又回到点 ,若光线 经过△ 的重心,则△ 的面积等于( )
A. 163
B. 4
C. 5
D. 154
4.定义区间[ , ],( , ),( , ],[ , )的长度为 .如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为 (其
中 ∈ (0, ], 为自然对数的底数),那么称这个函数为“ 函数”.下列四个命题:
①函数 ( ) = + 不是“ 函数”;
②函数 ( ) = 是“ 函数”,且 = 1;
③函数 ( ) = 是“ 函数”;
④函数 ( ) = 是“ 函数”,且 = 1.
其中正确的命题的个数为( )
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
二、填空题:本题共 12 小题,共 60 分。
5.已知直线 的方程为 2 + + 1 = 0,则直线 的倾斜角为______.
6.函数 ( ) = 的极值点为______.
7.已知直线 1: + = 1, 2: + = 1,若 1// 2,则实数 = ______.
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8.若无论实数 取何值,直线 + 1 = 0 与圆 2 + 2 = 2( > 0)恒有交点,则 的取值范围为______.
2 2
9 .已知 为椭圆16 + 12 = 1 上一动点,记原点为 ,若
= 2 ,则点 的轨迹方程为______.
10.若双曲线经过点 (4,3) 1,它的一条渐近线方程为 = 2 ,则双曲线的标准方程为______.
11.若函数 ( ) = + 在[0, ]上为严格增函数,则实数 的取值范围为______.
12.曲线 为到两定点 ( 2,0)、 (2,0)距离乘积为常数 16 的动点 的轨迹.以下结论正确的编号为______.
①曲线 一定经过原点;
②曲线 关于 轴对称,但不关于 轴对称;
③△ 的面积不大于 8;
④曲线 在一个面积为 64 的矩形范围内.
13.设 ( )是定义在 上的偶函数, ′( )为其导函数, (2025) = 0,当 > 0 时,有 ′( ) > ( )恒成立,
则不等式 ( ) > 0 的解集为______.
14.若直线 : + 3 = 0 与曲线 : 1 2 = 1 有两个不同的交点,则实数 的取值范围是______.
15 | |.已知实数 、 满足 4 + | | = 1,则| + 2 4|的取值范围是 .
16.已知实数 、 、 、 满足| | + | + 2| = 0,则( )
2 + ( )2的最小值为______.
三、解答题:本题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图是用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,点 (0, 3)是圆 的圆心,圆 过坐标原点 ;点 、 均在 轴上,
圆 与圆 的半径都等于 2,圆 、圆 均与圆 外切.
(1)求圆心 与圆心 的坐标;
(2)已知直线 过点 若直线 截圆 、圆 、圆 所得弦长均等于 ,求出 的值.
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ( 2) + 2 .
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(1)当 = 3 时,求函数 = ( )的单调区间;
(2)若函数 = ( )在区间[1, ]上恰有一个零点,求 的取值范围.
19.(本小题 14 分)
如图,某国家森林公园的一区域 为人工湖,其中射线 、 为公园边界.已知 ⊥ ,以点 为坐标
原点,以 为 轴正方向,建立平面直角坐标系(单位:千米).曲线 的轨迹方程为: = 2 + 4(0 ≤ ≤ 2).
计划修一条与湖边 相切于点 的直路 (宽度不计),直路 与公园边界交于点 、 两点,把人工湖围成一片
景区△ .
(1)若 点坐标为(1,3),计算直路 的长度;(精确到 0.1 千米)
(2)若 为曲线 (不含端点)上的任意一点,求景区△ 面积的最小值. (精确到 0.1 平方千米)
20.(本小题 14 分)
2
已知相圆 : 22 + = 1,点 1、 2分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若椭圆上点 满足 2 ⊥ 1 2,求| 1|的值;
(2)点 为椭圆的右顶点,定点 ( , 0)在 轴上,若点 为椭圆上一动点,当| |取得最小值时点 恰与点 重合,
求实数 的取值范围;
(3)已知 为常数,过点 2且法向量为(1, )的直线 交椭圆于 、 两点,若椭圆 上存在点 满足 =
+ ( , ∈ ),求 的最大值.
21.(本小题 14 分)
设函数 = ( )的定义域为 ,对于区间 = [ , ]( ),若满足以下两个性质之一,则称区间 是 = ( )
的一个“好区间”.
性质①:对于任意 0 ∈ ,都有 ( 0) ∈ ;性质②:对于任意 0 ∈ ,都有 ( 0) .
(1)已知函数 ( ) = 2 + 2 , ∈ .分别判断区间[0,2],区间[1,3]是否为 = ( )的“好区间”,并说明理
由;
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(2)已知 > 0 1,若区间[0, ]是函数 ( ) = 3 23 3 + 12, ∈ 的一个“好区间”,求实数 的取值
范围;
(3)已知函数 = ( )的定义域为 ,其图像是一条连续的曲线,且对于任意 < ,都有 ( ) ( ) > ,
求证: = ( )存在“好区间”,且存在 0 ∈ , 0为不属于 = ( )的任意一个“好区间”.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6. = 1
7. 1
8.[1, + ∞)
2
9.
2
4 + 3 = 1
2 2
10. 5 20 = 1
11.( ∞, 1]
12.③④
13.( 2025,0) ∪ (2025, + ∞)
14.[ 1 , 32 4 )
15.[4 2 2, 4)
16.92
17.解:(1)由题意点 (0, 3)是圆 的圆心,圆 过坐标原点 ;点 、 均在 轴上,圆 与圆 的半径都等于
2,圆 、圆 均与圆 外切,
可得圆 的半径为| | = 3,设圆心 ( , 0),其中 > 0,
由于圆 和圆 外切,且圆 的半径为 2,则| | = 2 + 32 = 3 + 2 = 5,解得 = 4,
即点 (4,0),同理可得点 ( 4,0).
(2)若直线 的斜率不存在,则直线 与 轴重合,此时,直线 与圆 、圆 都相离,不合乎题意,
设直线 的方程为 = ,即 = 0,
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= |4 | = |4 |圆心 到直线 的距离为 ,圆心 到直线 的距离为 , 2+1 2+1
2 2
且圆 、圆 的半径均为 2 16 1 3 ,所以,直线 截圆 、圆 的弦长为 = 2 4 2+1 = 4 1+ 2 ,
3
圆心 到直线 的距离为 = ,则直线 截圆 的弦长为 = 2 9
9 6| |
2+1 2+1
= ,
2+1
1 3 2 6| | 4
由题意可得 4 = ,解得 21+ 2 = ,1+ 2 21
12
= 4 1 3
2 1
所以, 1+ 2 = 4
21 = 12.
1+ 4 521
18.解:(1)当 = 3 时, ( ) = + 2 3 , > 0,
2
′( ) = 1 + 2 3 =
2 3 +1 (2 1)( 1)
= ,
1
令 ′( ) = 0 得 = 2或 1,
1
所以在(0, 2 )上 ′( ) > 0, ( )单调递增,
1
在( 2 , 1)上 ′( ) < 0, ( )单调递减,
在(1, + ∞)上 ′( ) > 0, ( )单调递增,
1 1
所以 ( )的单调递增区间为(0, 2 ),(1, + ∞),单调递减区间为( 2 , 1).
(2) ′( ) = 2 + 2 =
2
( 1)(
2
2 ),
2
当 2 ≤ 1,即 ≤ 4 时, ∈ [1, ], ′( ) ≥ 0,函数 ( )在[1, ]上单调递增,
(1) = 1 ≤ 0 2
由函数 = ( ) 2在区间[1, ]上恰有一个零点,得 ( ) = 2 2 ( 1) ≥ 0,解得 1 ≤ ≤ 1,
2 2
因此 1 ≤ ≤ 1,
2
当 2 > 1,即 > 4 1 < <
2 2
时,当 4 时, ′( ) < 0,即函数 ( )在[1, 4 ]上递减,
又 (1) = 1 < 0,
要函数 = ( )在区间[1, ]上恰有一个零点,
2 2
当且仅当 ( ) ≥ 0,则 ≤ 1与 > 4 矛盾,
2
所以 的取值范围是{ |1 ≤ ≤ 2 1 }.
19.解:(1)因为 = 2 + 4(0 ≤ ≤ 2),所以 ′ = 2 ,所以 ′| =1 = 2,
所以由点斜式可得 3 = 2( 1),即 = 2 + 5,
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令 = 0 5,解得 = 5,令 = 0,解得 = 2,
所以 (0,5), ( 52 , 0),
所以| | = 25 + 254 =
5 5
2 ≈ 5.6 ;
(2)设 ( , 2 + 4),0 < < 2,
则由(1)可知 ′| = = 2 ,
所以 的直线方程为 + 2 4 = 2 ( ),
整理得 = 2 + 2 + 4,
2
令 = 0,解得 = 2 + 4,令 = 0 +4,解得 = 2 ,
1 2+4 1
所以 △ = 2 × (
2 + 4) × = ( 32 4 + 8 +
16
),
( ) = 1 ( 3 + 8 + 16设 4 ), 0 < < 2,
4 2 2 2
1 16 1 3 +8 16 (3 4)( +4)′( ) = 4 (3
2 + 8 2 ) = 4 × 2 = 4 2 ,
2 3
令 ′( ) > 0,即 3 2 4 > 0,解得 3 < < 2,
令 ′( ) < 0,即 3 2 4 < 0 2 3,解得 0 < < 3 ,
( ) (0, 2 3 2 3所以函数 在 3 )单调递减,( 3 , 2)单调递增,
( ) = ( 2 3 ) = 1 [( 2 3 )3 + 8 × 2 3 16 32 3所以 2 3 4 3 3 + 2 3 ] = 9 ≈ 6.2 ,
3
所以景区△ 面积的最小值为 6.2 2.
20.解:(1)因为 2 ⊥ 1 2,所以设点 (1, ),
1 2 2
则2+
2 = 1,所以| | = 2 ,即| 2| = 2 ,
2 3 2
所以| 1| = 2 | 2| = 2 2 2 = 2 ;
2
(2)设 ( , ) ,则 2 +
2 = 1, ∈ [ 2, 2],
2 2
则| |2 = ( )2 + 2 = 2 2 + 2 + 1 2 =

2 2 +
2 + 1,
所以| |2 = 12 ( 2 )
2 2 + 1, ∈ [ 2, 2],
要 = 2时| |2取最小值,则必有 2 ≥ 2,
所以 ≥ 22 ;
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(3)设过点 2且法向量为(1, )的直线 的方程为 1 = 0, ( 1, 1), ( 2, 2),
1 = 0
联立 2 2 ,消去
2得( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0, = 8 2 + 8 > 0,
2 + = 1
2 1
则 1 + 2 = 2+2 , 1 2 = 2+2,
+ = ( + ) + 2 = 2
2
则 1 2 1 2 2+2 + 2 =
4
2+2,
2
= 2 + ( + ) + 1 = + 2
2 2 2+2
1 2 1 2 1 2 2+2 2+2+ 1 = 2+2 ,
又 = + = ( 1 + 2, 1 + 2),
( + )2
又点 在椭圆 上,则 1 22 + ( 1 +
2
2) = 1,
所以 2 21 + 2 + 2 2 2 2 2 21 2 2 + 2( 1 + 2 1 2 + 2) = 2,
即 2( 2 21 + 2 1) + 2 ( 1 2 + 2 1 2) + 2( 22 + 2 22) = 2,
2 2+2
所以 2 2 + 2 ( 2+2 +
2 ) + 2 2 2+2 = 2,
2 2
所以 1 = 2 2 ( ) + 2 2+2 ≥ 2 2 (

2+2 ) = 2
2
2+2,
2+2
所以 ≤ 4 ,当且仅当 = 时等号成立,
2
即 +2的最大值为 4 .
21.解:(1) ( ) = 2 + 2 = ( 1)2 + 1,
当 ∈ [0,2]时, ( ) ∈ [0,2],满足性质①,
所以[0,2]是 = ( )的“好区间”;
当 ∈ [1,3]时, ( ) ∈ [ 3,2],
既不满足性质①,也不满足性质②,
所以[1,3]不是 = ( )的“好区间”;
(2) ′( ) = 2 2 3 = ( 3)( + 1),
0 (0,3) 3 (3, + ∞)
′( ) 0 +
( ) 12 单调递减 极小值 3 单调递增
若 = ( )在区间[0, ]上满足性质①,则 (0) = 12 ∈ [0, ], ≥ 12,
3
而 ( ) = 23 4 + 12 =
1 2
3 ( 3)( 12) > 0, ( ) [0, ],
所以 = ( )在区间[0, ]上不满足性质①
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若 = ( )在区间 = ( )上满足性质②,
当 < 3 时, ( ) ≥ ( ) > (3) = 3,
所以[0, ] ∩ [ ( ), 12] = ,
当 ≥ 3 时,因为 (3) = 3,所以不符合;
综上所述,实数 的取值范围是(0,3);
(3)证明:因为任意 < ,都有 ( ) ( ) > .
所以 = ( )在任意区间[ , ]上对应的函数值区间长度必大于 ,
即 = ( )在任意区间 = [ , ]上都不满足性质①,
因为对于任意 < ,都有 ( ) ( ) > > 0,
所以 = ( )在 上单调递减,
所以 ( ) = 不恒成立,即存在 ( 0) ≠ 0,
若 ( 0) > 0,
取 < < 0,则 ( ) > ( ) > ( 0) > 0 > > ,
= ( )在区间[ , ]上对应函数值的区间[ ( ), ( )],
[ ( ), ( )] ∩ [ , ] = ,
所以[ , ]是一个“好区间”;
若 ( 0) < 0,
取 > > 0,
则 ( ) < ( ) < ( 0) < 0 < < ,
= ( )在区间[ , ]上对应函数值的区间[ ( ), ( )],
[ ( ), ( )] ∩ [ , ] = ,
[ , ]是一个“好区间”;
所以 = ( )存在“好区间”;
记 ( ) = ( ) ,
因为 = ( )在 上单调递减,所以 = ( )在 上单调递减;
又 = ( )图像是一条连续的曲线,
所以 = ( )图像也是一条连续的曲线,
先证明 = ( )有零点,
设 (0) = (0) = ,
若 = 0,则 = ( )有零点为 = 0,
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若 > 0,则 ( ) < (0) ≠ 0, ( ) = ( ) < 0, (0) = > 0, = ( )在区间(0, )上有零点;
若 < 0,则 ( ) > (0) ≠ 0, ( ) = ( ) > 0, (0) = < 0, = ( )在区间( , 0)上有零点;
所以 = ( )必有零点,记为 0′,
即 ( 0′) = 0′ = ( )的“好区间” 都满足性质②,
所以 0′不属于任意一个“好区间”.
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