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2024-2025 学年广东省深圳市新安中学高中部高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }为等比数列，其中 6 = 1， 10 = 9，则 8 =( )
A. 5 B. 3 C. 3 D. 5

2.若函数 = ( )在 = ( 3 ) ( )0处可导，且 → 0 0 0 = 9，则 ′( 0) =( )
A. 2 B. 3 C. 3 D. 2
3.现有 5 名同学站成一排，再将甲、乙 2 名同学加入排列，保持原来 5 名同学顺序不变，不同的方法共有( )
A. 30 种 B. 56 种 C. 12 种 D. 42 种
4.人工智能技术(简称 技术)已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术， 技术加持的电脑
(以下简称 电脑)也在全国各地逐渐热销起来.下表为 市统计的 2024 年 11 月至 2025 年 3 月这 5 个月该
市 电脑的月销量，其中 为月份代号， (单位：万台)为 电脑的月销量．
月份 2024 年 11 月 2024 年 12 月 2025 年 1 月 2025 年 2 月 2025 年 3 月
月份代号 1 2 3 4 5
月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4

经过分析， 与 线性相关，且其线性回归方程为 = 0.21 + ，则 2025 年 3 月的残差为( )(实际值与预
计值之差)
A. 0.04 B. 0.02 C. 0.02 D. 0.04
5.将函数 = 3 + 16 的图象绕坐标原点顺时针旋转 后第一次与 轴相切，则 =( )
A. 8 B. 4 C. 12 D. 5
6 2.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为3，且
各局比赛结果相互独立.在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为( )
A. 1 B. 164 81 C.
2
3 D.
2
5
7.已知( + 1)( 1)5 = + + 2 3 4 5 60 1 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ，则 3的值为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
8 .若对任意的正实数 ， ∈ ( , + ∞)，当 < 时， 1 2 2 11 2 1 2 > 2 恒成立，则 的取值范围( )1 2
A. [ 3, + ∞) B. [ 2, + ∞) C. [ , + ∞) D. [ , 2]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 24 种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 42 种
C.甲乙不相邻的排法种数为 82 种
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 20 种
10.已知在一次数学测验中，某校 1000 名学生的成绩服从正态分布 (100,100)，其中 90 分为及格线，120
分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有( )(参考数据：① ( < ≤ + ) = 0.6827；
② ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.9545；③ ( 3 < ≤ + 3 ) = 0.9973. )
A.平均分为 100 B.及格率超过 86%
C.得分在(70,130]内的人数约为 997 D.得分低于 80 的人数和优秀的人数大致相等
11.已知函数 ( ) = ，则( )
A. ( )在区间[0,2]上单调递增
B. ( ) 1有最大值
C.当 = 0 时， = ( )的图象过(1,0)的切线有且仅有 2 条
D. 1关于 的方程 ( ) = 0 有两个不等实根，则 的取值范围是( , + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某公司有日生产件数为 95 件的“生产能手”3 人，有日生产件数为 55 件的“新手”2 人，从这 5 人中
任意抽取 2 人，则 2 人的日生产件数之和 的标准差为______．
13 1 1.若函数 ( ) = 3
3 2
2有唯一一个极值点，则实数 的取值范围是______．
14.将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，
3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列{ }，若数列{ }的前 项和为 ，则 69 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }
2 1
满足 1 = 2， +1 = ( ∈ )．
(1)求证：数列{ 1 1 }是等差数列，并求数列{ }的通项公式；
(2) = 1记 ，求数列{ 2 1 2 +1}的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托 技术搭建了区域智慧题库系统，形成
了“ 通识过关 综合拓展 创新提升”三层动态题库，且 ， ， 三层题量之比为 7：3：2，设该题库
中任意 1 道题被选到的可能性都相同．
(1)现有 4 人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这 4 人中至少有 2 人的
选题来自 层的概率；
(2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取 12 道题生成试卷，若某老师要从生成
的这份 12 道题的试卷中随机选取 3 道题做进一步改编，记该老师选到 层题的题数为 ，求 的分布与期望
( )．
17.(本小题 15 分)
将 6 个不同的小球放入编号分别为 1，2，3 的三个不同盒子. (过程要用文字简要说明，结果用数字作答)
(1)求共有多少种不同放法；
(2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；
(3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；
(4)若将题干中“6 个不同的小球”改为“9 个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于
它的编号数时，共有多少种不同放法？
18.(本小题 17 分)
某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了 20 位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合
测试成绩分 4 个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示：
等级 不及格 及格 良 优
分数 1 2 3 4
人数 3 9 5 3
(1)若从样本中随机选取 2 位学生，求所选的 2 位学生分数不同的概率；
(2)用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取 位学生，记所选学生分数不小于 3
的人数为 ．
( )若 = 3，求 的分布列与数学期望；
( )若 = 20，当 为何值时， ( = )最大？
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
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(2)若 ≤ 2 + 1 2 恒成立，求实数 的取值范围．
(3) 为正整数，当 = 1 时，曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线记为 ，直线 与 轴交点的纵坐标记为 ，
2 5
证明： 1 + 2 + 3 + … + ≤ 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.24
13.[0, ]
14.2114
15.(1) 2 1 1证明：由 = ( ∈ )，得 1 = +1 ， +1
1 1 1 1 1
则 +1 1
= 1，可得 1 1 = = +1 1 1 1
= 1．
1
又 1 1
= 1，
∴ 1数列{ 1 }是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，
∴ 1 +1 1 = 1 + 1 × ( 1) = ，则 = ；
(2) 1 1 1 1 1 1解： = = +1， 2 1 2 +1 = 4 ( +1) = 4 ( +1 )，
∴ = 1 4 (1
1 1 1 1
2 + 2 3+ . . . +
1 ) = 1 1 +1 4 (1 +1 ) = 4( +1)．
16. (1) 3 1解： 由题意 层选题概率为12 = 4，
则这 4 人中至少有 2 人来自 层的概率：
= 2( 1 )2( 3 2 3 1 3 34 4 4 ) + 4( 4 ) ( 4 ) +
4( 1 )4 = 54 + 12 + 1 = 674 4 256 256 256 256；
(2)由题意采用分层抽样 层选取 7 道， 可取 0，1，2，3，
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0 ( = 0) = 7
3 1 2
5 = 13 22 , ( = 1) =
7 5
3 =
7
22， 12 12
2 1 ( = 2) = 7 5 = 21
3 0
3 44 , ( = 3) =
7 5 = 7
12
3
12 44
，
其分布列为：
0 1 2 3
1 7 21 7
22 22 44 44
所以期望 ( ) = 0 × 1 7 21 7 722 + 1 × 22 + 2 × 44+ 3 × 44 = 4．
17.解：(1)根据分步计数原理共有36 = 729 种不同放法；
(2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1 号盒 1 个球，2 号盒 2 个球，3 号盒 3 个球，共有 1 26 5 = 60
种不同放法；
(3)当每个盒子至少有 1 个小球时，共有三类：
4 1
第一类，一盒 4 个球，其余两盒各 1 个球，有 6 2 32 3 = 90 种；
第二类，一盒 1 个球，一盒 2 个球，一盒 3 个球，有 16 2 35 3 = 360 种；
22 6
2
第三类，每盒 个球，有 4 33 3 = 90 种，所以共有 540 不同放法； 3
(4)将 2 号盒子里放入 1 个小球，在 3 号盒子里放入 2 个小球，然后在剩余的 6 个相同的小球中间 5 个空
插入 2 个挡板，共有 25 = 10 种不同放法．
2 2 2
18. (1) = 2 ( ) = 1 ( ) = 1 3+ 9+ 5+
2 69
解： 设事件 “选取的 位学生分数不同”，则 32 = 95， 20
2 69故所选的 位学生分数不同的概率为95；
(2) = 3 ( ) = 5+3 2设 “学生分数不小于 ”，则 20 = 5，
( ) = 3 0 1 2 3 (3, 2 ) ( = 0) = (1 2 )3 = 27若 ， 的可能取值为 ， ， ， ，由题意可得 ～ 5 ，又 5 125， ( = 1) =
1 × 2 × (1 2 )2 = 543 5 5 125 , ( = 2) =
2 × ( 2 23 5 ) × (1
2 ) = 365 125， ( = 3) = (
2 3 8
5 ) = 125，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
由于 ～ (3, 25 )，则 ( ) = 3 ×
2
5 =
6
5；
( )若 = 20 2，则 ～ (20, 5 )所以 ( = ) =

20 × (
2 2 20 2 3 20
5 ) × (1 5 ) = 20 × ( 5 ) × ( 5 ) ．
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由于 ( = )最大，

( = ) ≥ ( = 1) 20 × (
2 ) × ( 3 20 5 5 ) ≥
1 2 1 3 21
20 × ( 5 ) × (所以 5
)
( = ) ≥ ( = + 1) ， × ( 2 3 20 1 2 +1 3 19 20 5 ) × ( 5 ) ≥ 20 × ( 5 ) × ( 5 )
20 +1
×
2 3
5 ≥ 5 37 42即 3 ≥ 20 2
5 ≤ ≤ 5，因为 ∈ ，
5 +1 × 5
∈ [0,20]，所以 = 8 时， ( = )最大．
19.解：(1)函数 ( ) = 1 ，则 ′( ) = 1 = ，定义域为(0, + ∞)，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时， ′( ) < 0 时， > ， ′( ) > 0 时， < ，
∴ ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减；
综上， ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
> 0 时， ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减；
(2)设 ( ) = 2 + 1 2 ( > 0)，
则 ≤ 2 ( )，令 = ，
则 ( ) = + 1 ，即当 = 1 时， ( ) = ( )，
由(1)可知， ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
∴ ( ) ≤ (1) = 2，
∴ ( ) ≥ 2，即 ( ) = 2，所以 ≤ 2，即 ∈ ( ∞,2]．
(3)证明：由题设 ( ) = 1，则 ′( ) = 1 ，
则 ( ) = 1 ( ) = 1， ′ 1，
1
此时在( , 1)处的切线方程为 ( 1) = ( 1)( )，
与 轴交点纵坐标为 2；
∴ 1 + 2 + 3 + … + = 1 + 2 + + 2 ，
对于 = 且 ≥ 1，则 1′ = 1 ≥ 0，即 = 在[1, + ∞)上单调递增，
∴ = ≥ 1 1 = 1，即 1 ≥ ，
2
∴ 1 + 2 + 3 + … + ≤ 0 + 1 + + ( 1) 2 =
( 1)
2 2 =
5
2 ，得证．
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