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2024-2025 学年天津市部分区高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 2 + 22 3 + 24 =( )
A. 9 B. 10 C. 19 D. 20
2 = .函数 的导数是( )
A. B. + 2 C. 2 D. 2
3.一个做直线运动的质点的位移 ( )与时间 ( )的关系式为 = 10 2，若该质点的瞬时速度为 0 / 时，
则 =( )
A. 10 B. 5 C. 1 D. 0
4.在高二某班级中，有 4 名同学要参加足球、篮球、乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，
其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有( )
A. 12 B. 16 C. 54 D. 81
5.已知函数 ( )的导函数的图象如图所示，则下列关于 ( )的说法正确的是( )
A.在区间[ 2,2]上是减函数
B. 2 是极小值点
C.在 上一定没有最大值
D. ( ) = 0 最多有四个根
6.有 4 辆车停放于 6 个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有多少种不同的停放方法？
( )
A. 360 B. 240 C. 120 D. 60
7 1.函数 ( ) = 2
2 的极值点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.在( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)的展开式中，含 4的项的系数是( )
A. 15 B. 85 C. 120 D. 274
9 2.设函数 ( ) = 3
3 2 + 1( ∈ )，有下列命题：
①当 > 0 时， ( )有三个零点；
②当 < 0 时， = 0 是 ( )的极小值点；
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③存在实数 ， ，使得 ( )在区间[ , ]上存在最大值 1．
其中是真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.函数 = log2(2 + 1)的导数为______．
11.(2 + 1 5 2 ) 的展开式中常数项为______．
12.第九届亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月在哈尔滨成功举行. 4 名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场
馆做志愿者，每名大学生只去 1 个场馆，每个场馆至少安排 1 人，则所有不同的安排种数为______. (用数
字作答)
13.在不超过 20 的质数中，随机挑选三个不同的数，则它们的乘积为偶数的组合方式共有______种. (请用
数字作答)
14 .已知函数 ( ) = 2 + 2( ∈ )， ( ) = ，若对任意 1 ∈ [ 1,1]，存在 2 ∈ ，使 ( 1) < ( 2)
成立，则 的取值范围是______．
15.已知函数 ( ) = ，当 ∈ (0,
2]时， ( )的最小值为 2，则实数 的值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ( , , ∈ )，当 = 1 时， ( ) 13取得极大值 2，当 = 2 时， ( )取得极
小值．
(Ⅰ)求 ， 的值；
(Ⅱ)求 ( )的极小值．
17.(本小题 15 分)
袋子中有 10 个大小相同的小球，其中 4 个红球，6 个白球.取一个红球得 2 分，取一个白球得 1 分，现在
从袋子中随机取出 5 个球，要求必须同时取出红球和白球．
(Ⅰ)请问有多少种取法能够使得总分数不超过 7 分？(请用数字作答)
(Ⅱ)当总分数恰好为 7 分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有
多少种？(请用数字作答)
18.(本小题 15 分)

已知( + ) 的展开式的二项式系数和为 128．
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(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)若展开式的第 4 项的系数为 280，求实数 的值．
19.(本小题 15 分)
设 ′( )是函数 ( )的导函数， ″( )是函数 ′( )的导函数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，则称点
( 0, ( 0))为曲线 = ( )的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”
1 1
就是三次函数图象的对称中心.已知函数 ( ) = 3 + 2 6 + 3 的图象的对称中心为( 2 , 4 )．
(Ⅰ)求实数 ， 的值；
(Ⅱ)求 ( )的零点个数．
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ，其中 > 0．
(Ⅰ)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)若 ( )的最大值是 ，求 的值；
(Ⅲ)设函数 ( ) = ( ) + 3 ，若 ( )有两个极值点 1， 2，证明： ( 1) + ( 2) + ( 1 + 2) > 2 4．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. ′ = 2(2 +1) 2
11.80
12.36
13.21
14.( 1 1 , 1 +
1
)
15. 3
16.解：(Ⅰ) ∵ ( ) = 3 + 2 + + ，∴ ′( ) = 3 2 + 2 + ，
∵当 = 1 时， ( ) 13取得极大值 2，当 = 2 时， ( )取得极小值，
∴ = 1 和 = 2 是方程 ′( ) = 0 的两根，
1 + 2 = 2 3
有 3

，∴ = 2；
( 1) × 2 = 3 = 6
(Ⅱ) 3由(Ⅰ)知， ( ) = 3 22 6 + ，
∵ 13当 = 1 时， ( )取得极大值 2，
∴ ( 1) = ( 1)3 3 ( 1)22 6( 1) + =
13
2，∴ = 3，
此时函数 ( )的极小值为 (2) = 23 3 22 × 2 6 × 2 + 3 = 7．
17.解：(Ⅰ)设取出 个红球， 个白球，其中 1 ≤ ≤ 4，1 ≤ ≤ 6， ∈ ， ∈ ，
则 2 + ≤ 7 且 + = 5，
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则 = 1， = 4 或 = 2， = 3，
则有 1 4 24 6 + 4 36 = 180 种取法能够使得总分数不超过 7 分；
(Ⅱ)当总分数恰好为 7 分时，
则取出 2 个红球，3 个白球，
则红球互不相邻的不同排列方式有 24 = 6 种．
18.解：(Ⅰ)( + ) 的展开式的二项式系数和为 128，得2
= 128，解得 = 7；
(Ⅱ)若展开式的第 4 项的系数为 280，即 3 37 = 280，
解得 = 2．
19.解：(Ⅰ)因为 ( ) = 3 + 2 6 + 3，
所以 ′( ) = 3 2 + 2 6，
所以 ″( ) = 6 + 2 ，
1 1
又因为 ( )的图象的对称中心为( 2 , 4 )，
1″( 2 ) = 3 + 2 = 0 = 1所以
( 1
，解得 3；
2 ) =

8 +
= 1 = 4 4 2
(Ⅱ) 3由(Ⅰ)知， ( ) = 3 22 6 + 3，
所以 ′( ) = 3 2 3 6 = 3( + 1)( 2)，
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 2，
所以当 < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
( 1) = 13因为 2 > 0， (2) = 7 < 0，
当 → ∞时， ( ) → ∞；当 →+∞时， ( ) →+∞，
所以 ( )有 3 个零点．
20.解：(Ⅰ)当 = 2 1时，则 ( ) = 2 , ′( ) = 2，
可得 (1) = 2， ′(1) = 1，
即切点坐标为(1, 2)，切线斜率 = 1，
所以切线方程为 ( 2) = ( 1)，即 + + 1 = 0；
解：(Ⅱ) ( ) = 的定义域为(0, + ∞)，而 ′( ) = 1 ，
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∈ (0, 1当 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 1 , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )的最大值为 ( 1 ) = ln
1
1 = 1 ，
故 = 1 1，整理得到1+ = ，其中 > 0，
( ) = 1
2
设 1+ , > 0，则 ′( ) =
2 1 1
(1+ )2 = (1+ )2 < 0，
故 ( )为(0, + ∞)上的减函数，而 (1) = 0，
故 ( ) = 0 1的唯一解为 = 1，故1+ = 的解为 = 1，
综上所述， = 1；
证明：(Ⅲ)由题意得：函数 ( ) = + 的定义域为(0, + ∞)，且 > 0，
2
′( ) = 1 + 2 2 = 2 ，令 ( ) = + ，
因为函数 ( )有两个极值点 1， 2，则 1， 2是方程 ( ) = 0 的两个根，
得 > 0 0 < < 1 1，即 2，且 1 2 = 1, 1 + 2 = ，
1 1
( 1) + ( 2) + ( 1 + 2) = ( 1) + ( ) + ( )1
1 1 1 1
= 1 ( 1 ) + ln ( 1) + ( )1 1 1
= ( 1 ) = ln 1 ( 1 ) = 1 + 2 ，
2
令 ( ) = 1 + 2, 0 < < 12，则 ′( ) =
1 2 1
+ 2 = ，
1 1
当 0 < < 2时， ′( ) < 0，则 ( )在区间(0, 2 )上单调递减，
从面 ( ) > ( 12 ) = 2
3
4，
故 ( 1) + ( 2) + ( 1 + 2) > 2
3
4．
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