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2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学锡西分校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
3.若的展开式中第项与第项的系数相等，则展开式中系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
4.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 是的极小值
B. 是的极大值
C. 在区间上单调递减
D. 曲线在处的切线斜率小于零
5.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，规定至少要解答正确道题才能及格某同学只能求解其中的道题，则他能及格的概率是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加接力比赛记事件为“甲同学不跑第一棒”，事件为“乙同学跑第二棒”，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字，，，，，的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为”的不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.若函数，对任意的，不等式恒成立，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知且，，则下列等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 事件与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件
11.定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数，则下列说法中正确的有( )
A. 的对称中心为
B. 若关于的方程有三解，则
C. 在上有极小值，则
D. 若在上的最大值、最小值分别为、，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项是______．
13.若随机变量服从正态分布，且，则 ______．
14.已知，若，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天．
若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案；
金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案；
金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案．
16.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于．
求的值；
若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项．
18.本小题分
某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用，两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过的大集团和个人数低于的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取个集团，全是大集团的概率为．
在取出的个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
若一次抽取个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
当，求在处的切线方程；
当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；
已知，设函数若在区间上存在零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，
总共有种安排方案；
金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，
共有种安排方案；
金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，
共有种安排方案．
16.解：当时，，定义域为，
，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以极小值为，无极大值．
由题意知：定义域为，
，
当时，若，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，若，则，
若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
17.解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，
整理可得，因为，解得；
的展开式通项为，
令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得，
由不等式组，解得，
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为．
18.解：由题意知共有个集团，取出个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，
故全是大集团的概率是，
整理得到，解得，
若个全是大集团，共有种情况，
若个全是小集团，共有种情况，
故全为小集团的概率为；
由题意知，随机变量的可能取值为，，，，
计算，，
，，
故的分布列为：
数学期望为．
19.
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