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2024-2025学年河南省南阳某校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：在参与调查的名运动员中任取人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为( )
男性运动员人 女性运动员人
对主办方表示满意
对主办方表示不满意
注：
A. B. C. D.
4.观察下列各图，并阅读图形下面的文字，像这样，条直线相交，交点的个数最多是( )
A. B. C. D.
5.设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，则既是等差数列又是等比数列
B. “，，成等差数列”是“”的充分不必要条件
C. 若，则是等比数列
D. 若是等比数列，则，，也成等比数列
6.已知数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法错误的是( )
A. 数列是等差数列 B. 数列的最大项为
C. 使得取得最小值的为 D. 有最小值，无最大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关线性回归分析的问题中，正确的是( )
A. 线性回归方程至少经过点，，，，中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
C. 若设直线回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是．
10.已知数列中，，且对任意的，，都有，则下列选项正确的是( )
A. 的值随的变化而变化
B.
C. 若，，，，则
D. 为递增数列
11.已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足，则下面正确的有( )
A. 的第项小于 B. 为等比数列
C. 为递减数列 D. 中存在小于的项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列中，，，且满足，是等比数列，则的值为______．
13.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为 ．
14.已知数列满足，则数列的前项和 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线与直线垂直的切线方程；
若过点的直线与曲线相切，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列满足，记．
求证：是等比数列；
设，求数列的前项和为．
17.本小题分
某人工智能公司从至年的利润情况如下表所示：
年份
年份代码
利润单位：亿元
根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关计算与之间的相关系数精确到，并推断它们的相关程度；
求出关于的经验回归方程，并预测该人工智能公司年的利润；
参考数据：
参考公式：对于一组数据，，，相关系数为：；
经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，
18.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，，为，的等比中项．
求的通项公式；
若，记的前项和为，证明：．
19.本小题分
由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为．
求使得的最小的取值；
试推导关于、的解析式；
是否存在这样的“边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设所求切线的切点为，则，
又由，可得，
切线的斜率为，
所以，则，
所以切线方程为，即．
设切点的横坐标为，直线的斜率为，
则直线的方程：，
则，
则，整理得，所以，
当时，，切线方程为．
当时，，切线方程为；
所以切线方程为或．
16.解：证明：数列满足，记，
可得，而，
因此，
由，得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
由等比数列的通项公式可得，，
所以，，
两式相减得，
所以．
17.解：由表中的数据可知，与线性相关，且，
因为，
所以，
由于，可以推断变量与成正线性相关且相关程度很强；
因为，
且，
所以，
所以，
因此关于的回归方程为，
当时，，
即预测该人工智能公司的利润为亿元．
18.解：依题意，，
可得，
又为，的等比中项，
则，即，
解得，
故；
证明：由上可知，
所以
，
所以，
令，显然定义域上单调递减，
则，
所以，
综上，，即得证．
19.解：由题意得：
令
即，
解得
最小的．
设边形数列所对应的图形中第层的点数为，
则，
从图中可以得出：后一层的点在条边上增加了一点，两条边上的点数不变，
所以，
所以是首项为公差为的等差数列，
所以；
，
时，满足题意；
而结论要对于任意的正整数都成立，则的判别式必须为，
，，
故满足题意的数列为“三角形数列”．
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