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2024-2025学年天津市西青区杨柳青一中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量，，则( )
A. B. C. D.
2.设袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中至多个红球的概率为( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.随机变量的分布列如下，且，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有种．
A. B. C. D.
6.多项式的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
7.下列命题正确的是( )
A. 已知随机变量，若，，则
B. 若随机变量满足，则
C. 已知随机变量，若，则
D. 已知随机变量，则
8.定义在上的奇函数满足时，成立，若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
9.已知函数若函数有个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知在的二项展开式中，所有项的系数和为，所有项的二项式系数和为，则 ______．
11.袋子中有大小相同的个红球和个白球若从袋子中摸出个球，则恰有一个白球的概率是______；若每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则 ______．
12.函数的最小值为______．
13.天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语“篮球之家”“生物研启社”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为______．
14.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为，，现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是______．
15.已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，每人各投个球，两人投篮是否命中互不影响．
Ⅰ求甲至多命中个球且乙至少命中个球的概率；
Ⅱ若规定每投篮一次命中得分，未命中得分，求乙所得分数的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，其中，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离，
18.本小题分
已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ中的第项，第项，第项，，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前项和；
Ⅲ已知数列，，若数列的前项和为，求证：．
19.本小题分
已知直线经过椭圆：的右焦点为，且被椭圆截得的线段长为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ椭圆的下顶点为，是椭圆上一动点，直线与圆：相交于点异于点，关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点异于点设直线，的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由．
20.本小题分
设函数．
若曲线在点处的切线方程为，求的值；
当时恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ设“甲至多命中个球”为事件，“乙至少命中个球”为事件，
依题意，，，
所以甲至多命中个球且乙至少命中个球的概率为．
Ⅱ乙所得分数的可能取值，，，，，
，，
，，，
所以的分布列为：
所以．
17.解：证明：由于是以为斜边的等腰直角三角形，
是的中点，故，
由于平面平面，平面平面，平面，
故平面；
连结，由于是的中点，且，故CB，
由于，，故四边形为矩形，
所以，故有、、两两垂直，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，
令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
则
令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
，
故平面与平面的夹角余弦值为；
，由知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
18.Ⅰ解：数列是等差数列，
，，
依题意，有，即，
解得，，
数列的通项公式为；
Ⅱ，
；
Ⅲ证明：由可得，
，
，
，
，
，
数列是递增数列，
，
．
19.解：Ⅰ因为直线经过椭圆的右焦点为，且被椭圆截得的线段长为，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
Ⅱ易知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或，
即，
联立，消去整理并整理得，
解得或，
即，
显然是圆的直径，
所以，
所以直线的方程为，
用代替，可得，
因为直线的斜率，直线的斜率．
则所以为定值．
20.解：，
由题意曲线在点处的切线方程为，
则，解得；
，，
，
令，
则，
当，即时，，即是上的增函数，
因此，
是增函数，
所以，不合题意，舍去；
当，即时，，即是上的减函数，
所以，
所以是上的减函数，
从而恒成立；
当，即时，，
当时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
又，
所以时，恒成立，
即恒成立，
此时在上单调递增，
因此，与题意不合，舍去；
综上，
所以实数的取值范围为；
证明：由知，当时，，
即，
从而，
所以，
又，
所以，
此不等式中分别令，，，，
得，，，，
将这个不等式相加得．
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