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2024-2025学年福建省福州市联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简：( )
A. B. C. D.
2.已知复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.在中，内角、、所对的边分别为、、，若：：：：，则：：( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
5.如图，在复平面内每个小方格的边长均为，向量，对应的复数分别为，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则( )
A. B. C. D.
7.已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧距上，从点到的最短路径的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间几何体的叙述错误的是( )
A. 底面是正五边形的棱锥是正五棱锥
B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 一个棱柱至少有个面
10.下列关于复数的结论正确的是( )
A. 的虚部是
B.
C.
D. 方程的根是
11.如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线已知，是湖岸上的两条雨路，，，，观光亭视为一点，游览路线、雨路的宽度忽略不计，则( )
A. B. 当时，
C. 面积的最大值为 D. 游览路线最长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比为______．
13.已知，向量在上的投影向量为，则 ______．
14.在中，是的中点，点满足，与交于点，则的值为______；若，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知，复数．
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
若满足，，求的值．
17.本小题分
如图，在中，，，，点，满足，，边上的中线与交于点设，．
用向量，表示，；
求的大小．
18.本小题分
如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上，若棱柱侧面落在圆锥底面上已知正三棱柱底面边长为，高为．
求挖掉的正三棱柱的体积；
求该几何体的表面积．
19.本小题分
在中，是边上靠近的三等分点．
若，证明：；
若，．
求面积的最大值；
求的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：向量，．
，可得，解得；
与垂直，
可得，即，
即，整理得：，解得或．
16.解：复数，
由在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是
满足，，
则，
又，，则，解得，，
，
所以．
17.解：由，可知，，，
则，，所以；
又为边上的中线，
所以．
由，得，，又，
所以与的夹角为，则．
由图形可知，的大小等于向量与的夹角．
又
，
，
，
，
又，
．
18.解：正三棱柱的底面边长为，高为，
，
正三棱柱的体积；
在正三棱柱中，由知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为，则是矩形的中心，设圆半径为，
则，得，
取的中点，连接，则，且，
，，
于是，解得，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆的面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
该几何体的表面积为：
．
19.证明：因为是边上靠近的三等分点，
所以，即，化简得．
设内角、、的对边分别为、、，则，
因为，所以，即，
在中，由余弦定理得，
两式消去，可得，
化简得，即；
解：在中，，
由余弦定理，化简得，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立．
所以，当时，取得最大值．
根据点是边上靠近的三等分点，可得，
所以，当时，面积的最大值为．
在中，，
由正弦定理得，
结合，可得，．
由，可得，
根据余弦定理，可得，
将代入上式，化简得，，
所以
，其中，
当，即时，取得最小值，可知的最小值为．
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