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2024-2025学年贵州省贵阳一中高一（下）第三次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在中，点是斜边的中点，点是线段靠近点的四等分点，设，则( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点( )
A. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C. 先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变
D. 先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变
7.如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点不包括端点若，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
8.在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，且，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设、是两个非零向量，是单位向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 在方向上的投影向量为
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 是的充要条件
D. 若，，则有两解
11.已知函数、定义域为，函数是偶函数，函数是奇函数，且，则( )
A.
B.
C. 关于中心对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正方体的表面积与其内切球表面积的比为______．
13.如图，为测量河对岸两点，间的距离，沿河岸选取相距单位：的，两点，测得，，，则，两点距离为______．
14.若平面向量满足，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求．
16.本小题分
已知向量满足．
求与的夹角；
若，求的值；
若为锐角，求的取值范围．
17.本小题分
函数的部分图象如图所示：
求函数的解析式；
求函数在上的单调区间；
已知，，求．
18.本小题分
已知，函数为奇函数，为常数．
求的值；
用定义法证明：函数在上单调递增；
若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在教材必修二第六章我们学面向量的加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，结果为实数其实向量还有其他运算，比如外积，混合积两个向量与的外积记为，其结果是一个向量它的长度规定为，它的方向规定为与均垂直；从外积定义可以看出当不共线时，长度表示以为邻边的平行四边形的面积．
设三个向量，称为这三个向量的混合积，也可记为．
在空间直角坐标系中，若，则，．
阅读上述材料，解答下列问题：
已知，求；
若向量，证明：当，，三点不共线时、；
证明：当不共面时，在数值上等于以为三条棱所构成的三棱锥的体积的倍．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.：
13.
14.
15.解：，
由正弦定理，
即，
即．
，．
若，
则由余弦定理，
可得，即，
解得或舍，
．
16.解：根据题意，向量满足，
则，
故．
又由，，则，；
根据题意，因为，
若，则，
因为且为锐角，
则，即，
，解得．
又与不能共线，故设，
解得，，
综上所述：．
17.解：由图知：，
所以，
又函数图象经过点，
所以，
则，
故．
由图知：函数在上单调递增，在上单调递减．
已知，，
则，
所以，
所以，
所以．
18.解：函数为奇函数，
，，
，化简得，
解得，经检验当时，无意义，故舍：
当时满足题意，
；
证明：，定义域为，
设，，且都有
，
，
，
，
，
函数在上单调递增；
由题意可知，．
在上单调递增，
则对，
对恒成立，
，
在上单调递增，．
故的取值范围为
19.解：由题意知：，
则．
证明：把平面向量改为空间向量，，
则由外积定义知：，
从外积定义可以看出，
当不共线时，长度表示以为邻边的平行四边形的面积，
所以．
证明：，
而，
又因为的方向与均垂直，即与平面垂直，
所以表示点到平面的距离，即为三棱锥的高，
所以，
从而，所以当不共面时，
在数值上等于以为三条棱所构成的三棱锥的体积的倍．
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