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2024-2025学年江西省南昌十中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，化简后等于( )
A. B. C. D.
2.“点在第二象限”是“角为第三象限角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.向量与的夹角为，，，在上投影数量为( )
A. B. C. D.
4.在中，点在边上，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．点，是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，若，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.已知点，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则
11.是边长为的等边三角形，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则方向上的单位向量的坐标为______．
13.若函数为奇函数，则的最小值为______．
14.在中，下列命题中正确的有：______
；
若，则为锐角三角形；
是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
是内一定点，且，则；
若，且，则为等边三角形．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量不共线，且．
若，求的值；
若，求证：，，三点共线．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，．
求角；
若，求周长的取值范围．
17.本小题分
已知向量，．
当且时，求；
当，，求向量与的夹角．
18.本小题分
如图，在中，，，，且，，与交于点．
用，表示，；
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求的解析式及对称中心；
若，求的值；
若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：向量不共线，且．
若，则，即，
可得，解得，，
所以．
若，则，
所以，，
所以，则，，三点共线．
16.解：设的外接圆的半径为，
根据正弦定理可得，，，
根据题意可知，，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
又，可得；
由题意可得，，
由余弦定理可得，
即，
所以，所以，
又，故，当且仅当时取等号，
即的周长的取值范围为．
17.解：根据题意，向量，，
则，
，
若，则有，
解得或，
又因为，所以．
根据题意，若，，则，
又由，且向量，
则有，解得，
所以，
所以，
又是向量与的夹角，则，所以．
18.解：因为，，
所以，，
所以，；
因为，，，
所以，
所以
，
即的值为；
依题意为向量与的夹角，
又，
，
所以，
即的值为．
19.解：由题意可得，周期，
则，，
将点代入可得，，
解得，，，；
令，，解得，
的对称中心为；
由知，
，即，
或
又，
或．
由知，则，
由函数在上恰有个零点，
即在上恰有个解，
即在上恰有个解，
，，
即函数与在区间有个交点，
则，解得，
故的范围为
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