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2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数的最小正周期为的是( )
A. B.
C. D.
6.已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
8.记的面积为，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复数范围内，下列命题正确的是( )
A. 若，则为纯虚数 B. 若，则
C. 若，则的最大值为 D. 若，则
10.函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点为对称
B. 在区间单调递增
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 与的图象在上有两个不同的交点
11.如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若，则当，，三点共线时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ______．
13.若，则 ______．
14.在等腰中，，，在内一点满足，，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，若与平行，求；
已知，，与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知，，．
求的值；
求的大小．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的周长为，点是边的中点，求线段的长．
18.本小题分
如图，某学校有一块边长为的正方形实验田用地，在此正方形的边，上分别取点，均不与正方形的顶点重合，用栅栏连接，，，设，，．
当，时，求所用栅栏的总长度；
当时，在内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值；
19.本小题分
由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
试用表示；
求的值；
已知方程在上有三个根，记为，，，且，求证：的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，，
所以，，
又因为与平行，
所以，
解得，
所以，
所以；
因为，，与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，
所以，
解得．
16.解：因为，，
所以，，
；
因为，，，
所以，，，
则，
故．
17.解：因为，
由正弦定理得，
所以，即，
又因为，所以；
因为点是的中点，
所以，
所以
，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
所以，
又因为的周长为，所以，
所以，所以，所以，
所以，
即．
18.解：因为，，则，
在中，，
因为，
在中，，
所以在中由余弦定理得
，
所以，
所以，
所以栅栏总长度为米；
在中，，
在中，，
所以的面积，
，
因为，所以，
当即时，取得最大值，
此时的面积的最小值为，
所以植蔬菜的区域面积的最小值为平方米．
19.解：根据题意，可得
；
解：因为，，且，
所以，可得，即，
整理得，解得舍负，即；
证明：由，可得，
令，结合题意，可得，取，
所以，由的结论，可得，
因为，所以或或，可得，，，
所以，，．
可得
，
所以等式成立．
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