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面积问题1面积最值计算
典例精讲
【例】 (2024湖北中考)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB 长为 xm，平行于墙的边BC 长为 ym，围成的矩形面积为 S m .
(1)求 y 与x,S 与x之间的关系式;
(2)围成的矩形花圃面积能否为 若能，求出x的值；
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值 若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
典题精练
(2024洪山区)【问题提出】根据以下提供的素材，在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5 900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案
素材一：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16 m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m.
素材二：每个门的价格为250元.
素材三：与现有墙平行方向的墙建筑费用为 300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
【问题解决】
(1)设AB= x m,矩形ABCD的面积为S,求 S 关于x的函数表达式;
(2)探究自变量x的取值范围；
(3)确定设计方案:当AB= m,BC= m时,S的最大值为 m .((直接填写结果)
面积问题2 加权面积计算
典例精讲
【例】 (2024青山区)如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米.
(1)花圃的面积为 平方米(用含a 的式子表示)；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为80元/米 和100元/米 ，如果小区决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最高，最高总造价为多少元
典题精练
某家禽养殖场，用总长为200 m的围栏靠墙(墙长为65 m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH 与矩形 HGBF 面积相等,矩形 EAGH 面积等于矩形 DEFC 面积的二分之一,设AD 长为x m,矩形区域ABCD 的面积为.
(1)求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值 最大值是多少
(3)现需要在矩形 EAGH 和矩形 DEFC 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/m 和20元 若要使安装成本不超过30 000元，请直接写出x的取值范围.
面积问题1 面积最值计算
典例精讲
【例】 (2024湖北中考)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB 长为 xm，平行于墙的边BC 长为 y m，围成的矩形面积为 S m .
(1)求 y与x,S与x之间的关系式;
(2)围成的矩形花圃面积能否为750 m 若能，求出x的值；
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值 若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
解:(1)∵篱笆长80m,∴AB+BC+CD=80m.∵AB=CD=xm,BC=y m,
∴x+y+x=80,∴y=80-2x.∵墙长42m,
∴0<80-2x≤42,解得19≤x<40,∴y=80-2x(19≤x<40);
∴矩形面积S=BC·AB=y·x=(80-2x)x=-2x +80x;
(2)令S=750,则 ，整理得 此时，∠ ),
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为750 m ；解得
∵19≤x<40,∴x=25;
(3)S=-2x +80x=-2(x-20) +800.∵-2<0,∴S有最大值.又19≤x<40,∴当x=20时,S 取得最大值,此时S=800,即当x=20时,S的最大值为 800.
典题精练
(2024洪山区)【问题提出】根据以下提供的素材，在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5 900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案
素材一：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16 m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为 1m .
素材二：每个门的价格为250元.
素材三：与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
【问题解决】
(1)设AB= xm,矩形ABCD的面积为S,求 S关于x的函数表达式;
(2)探究自变量x 的取值范围；
(3)确定设计方案：当 时，S的最大值为 (直接填写结果)
解:(1)根据题意,可得BC=22+2-3x=(24-3x)m,
(2)由题意,得1<24-3x≤16,解得
总费用=200(3x-1)+300(23-3x)+500=(7200-300x)元,
由7 200-300x≤5 900,解得
∴当x>4时，S 随x的增大而减小，
∴当 时，面积S有最大值，最大值为 此时
∴设计方案是 的最大值为
面积问题2 加权面积计算
典例精讲
【例】 (2024青山区)如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米.
(1)花圃的面积为 平方米(用含a 的式子表示)；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为80元/米 和100元/米 ，如果小区决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最高，最高总造价为多少元
解：(1)花圃的面积为
(2)由题意，得 解得 (舍去).
∴通道的宽为 6米；
(3)设修建的通道和花圃的总造价为 w元，
),
整理得
∴当a<15时,w 随a的增大而减小.
由 解得3≤a≤27.
又∵2≤a≤6,∴3≤a≤6,∴当a=3时,函数值最大,
答：通道宽为3米时，修建的通道和花圃的总造价最高，最高总造价为79 920元.
典题精练
某家禽养殖场，用总长为200 m的围栏靠墙(墙长为65 m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH 与矩形HGBF 面积相等，矩形 EAGH 面积等于矩形 DEFC 面积的二分之一，设AD 长为x m,矩形区域ABCD 的面积为y m .
(1)求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值 最大值是多少
(3)现需要在矩形 EAGH 和矩形 DEFC 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/m 和20元/m ，若要使安装成本不超过30 000元，请直接写出x 的取值范围.
解：
又∵28≤x<80,∴当x=40时,y 有最大值,最大值为2 000 m ;
(3)设安装成本为w 元，
由 ,解得x=60或20,∴w≤30000时,x≤20 或x≥60,∵28≤x<80,∴60≤x<80时,安装成本不超过30 000元.

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