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板块十四 特殊四边形的判定与性质
典例精讲
类型一 平行四边形的判定
【例1】 (2024武汉中考)如图,在□ABCD中,点E,F分别在边BC,AD 上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由)
类型二 菱形的判定
【例2】 (2024武汉三调)如图,在 ABCD 中,点 E,F 分别在BC,AD 上,AC 与EF 相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:
(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形.(不需要说明理由)
类型三 矩形的判定
【例3】 (2024武昌区)如图,在 ABCD中,点E,F,G,H 分别在边AB,BC,CD,DA 上,且
(1)求证:
(2)请添加一个条件，使四边形 EFGH 为矩形(不需说明理由).
类型四 正方形的判定
【例4】 (2024 青山区)如图,在△ABC 中, 于点D,AN 是 外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN 于点 E.
(1)求证:四边形ADCE 为矩形;
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形 请给出证明.
典题精练
1.(2024江汉区)如图, ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,E,F 是对角线AC上的两点.
(1)添加一个条件 ，使四边形 BFDE 是平行四边形；
(2)在(1)添加的条件下，写出证明过程.
2.(2024硚口区)如图,点D 在△ABC的AB 边上,CN∥AB,DN 交AC于点 M,
(1)求证:AD=CN;
(2)请添加一个条件，使四边形 ADCN 为矩形.(不需要说明理由)
3.(2024汉阳区)如图,E,F 是 的对角线BD 上两点，且
(1)求证:
(2)连接AF，CE.请添加一个条件，使四边形AECF 为矩形(不需要说明理由).
板块十四 特殊四边形的判定与性质
典例精讲
类型一 平行四边形的判定
【例1】 (2024武汉中考)如图,在□ABCD中,点E,F 分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由)
解:(1)在 ABCD中,AB=CD,∠B=∠D,BC=AD,∵AF=CE,∴BC-CE=AD-AF,即BE=DF,∴△ABE≌△CDF;
(2)添加BE=CE.理由:∵AF=CE,BE=CE,
∴BE=AF.在 ABCD 中,AD∥BC,
∴四边形 ABEF 为平行四边形.
类型二 菱形的判定
【例2】 (2024武汉三调)如图,在 ABCD 中,点E,F 分别在BC,AD 上,AC与EF 相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形.(不需要说明理由)
解:(1)在 ABCD 中,AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,∠FAO=∠ECO,
∵AO=CO,∴△AOF≌△COE;
(2)添加 EF⊥AC.理由:
由(1)得△AOF≌△COE,∴OE=OF,
∵OA=OC,∴四边形AECF 为平行四边形,∵EF⊥AC,
∴四边形AECF 为菱形.
类型三 矩形的判定
【例3】 (2024武昌区)如图,在 ABCD中,点E,F,G,H 分别在边AB,BC,CD,DA 上,且AE=CG,BF=DH.
(1)求证:△AEH≌△CGF;
(2)请添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形(不需说明理由).
解:(1)在 ABCD 中,∠A=∠C,AD=BC,
∵BF=DH,∴AD-DH=BC-BF,
∴AH=CF,∵AE=CG,∴△AEH≌△CGF;
(2)添加∠EHG=90°.理由:由(1)知△AEH≌△CGF,
∴HE=FG.同理△DHG≌△BFE,∴GH=EF,
∴四边形EFGH 是平行四边形,∵∠EHG=90°,∴四边形EFGH 是矩形.
类型四 正方形的判定
【例4】 (2024青山区)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,AN 是 外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN 于点E.
(1)求证:四边形ADCE 为矩形;
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形 请给出证明.
解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=90°,
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴四边形ADCE 为矩形;
(2)添加∠BAC=90°.证明:∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°,
∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD.
∵四边形ADCE 为矩形,∴矩形ADCE 是正方形.
典题精练
1.(2024江汉区)如图, ABCD的对角线AC,BD 交于点O,E,F 是对角线AC上的两点.
(1)添加一个条件 OE=OF ,使四边形 BFDE 是平行四边形;
(2)在(1)添加的条件下，写出证明过程.
解:(1)OE=OF(答案不唯一);
(2)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB=OD,∵OE=OF,∴四边形BFDE 是平行四边形.
2.(2024硚口区)如图,点 D 在△ABC的AB边上,CN∥AB,DN 交AC 于点 M,MA=MC.
(1)求证:AD=CN;
(2)请添加一个条件，使四边形ADCN 为矩形.(不需要说明理由)
解:(1)∵CN∥AB,∴∠CNM=∠ADM,∠NCM=∠DAM,∵MA=MC,∴△AMD≌△CMN,∴AD=CN;
(2)添加条件∠DAN=90°(答案不唯一),四边形ADCN 为矩形.理由如下:由(1)可知AD=CN,∵CN∥AB,∴四边形ADCN 是平行四边形,∵∠DAN=90°,∴平行四边形ADCN 是矩形.
3.(2024汉阳区)如图,E,F 是 ABCD的对角线BD上两点,且AE∥CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接AF，CE.请添加一个条件，使四边形AECF 为矩形(不需要说明理由).
解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF,
∵AE∥CF,∴∠AED=∠BFC,
∴∠AEB=∠CFD,∴△ABE≌△CDF;
(2)当AE⊥CE 时,四边形AECF 为矩形,理由:
∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF,
∵AE∥CF,∴四边形AECF 是平行四边形,
∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°,
∴四边形AECF 为矩形.

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