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板块十五 全等三角形———突破中考第1问
专题突破1 全等证明(一)三角形背景
典例精讲
类型一 证线段相等
【例1】 (武汉中考第23 题第1问)如图,在△ABC 中, M是BC上一点,连接AM,N 是AB 延长线上一点,CN与AM 垂直,若n=1,求证:BM=BN.
类型二 证线段和差关系
【例2】 (2021武汉中考第23题第1问)如图,在△ABC 和△DEC 中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E 在△ABC内部,直线AD与BE 交于点F,当点D,F重合时,直接写出一个等式，表示AF，BF，CF 之间的数量关系.
典题精练
类型三 证线段位置关系
1.如图，△ABC是等边三角形，D 是BC边上的一点(不与B，C 两点重合)，连接AD，以AD为一边向右侧作等边三角形△ADE，连接CE.试判断AB 与CE 的位置关系，并证明.
类型四 求线段长
2.如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求 BD 的长.
专题突破2 全等证明(二)四边形背景
典例精讲
类型一 证线段相等
【例1】 如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F,连接 EF.求证:AE=AF.
类型二 求角度
【例2】 (2023 武汉中考第23 题第(1)问)如图,E 是正方形ABCD 边BC 上一点, 是等腰直角三角形,AE=EF,∠AEF=∠ABC=90°,AF 交CD 于点G,求 的度数.
典题精练
类型三 证位置关系
1.(2023武汉四调第23题第(1)问)如图,E,F 是正方形ABCD 边上的点,连接BE,CF 交于点G,CE=DF.判断BE 与CF 的位置关系,并证明你的结论.
类型四 求线段长
2.(2024甘孜州改)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=90°,连接BD,过点 C 作( ，垂足为E,CE 交BD 于点 F,∠1=∠ABC,∠DCE=45°.
(1)求证:BC=BD;
(2)若 BC=13,AD=5,求 CE 的长.
板块十五 全等三角形———突破中考第1问
专题突破1 全等证明(一)三角形背景
典例精讲
类型一 证线段相等
【例1】 (2019 武汉中考第23 题第1问)如图,在△ABC 中, M 是BC上一点,连接AM,N 是AB 延长线上一点,CN 与AM 垂直,若n=1,求证:BM=BN.
证明:延长AM 交CN 于点H,∵AM 与CN 垂直,∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠N=90°,∠BCN+∠N=90°,∴∠BAM=∠BCN.
∵n=1,∠ABC=90°,∴AB=BC,∠ABC=∠CBN,
∴△ABM≌△CBN,∴BM=BN.
类型二 证线段和差关系
【例2】 (2021武汉中考第23题第1问)如图,在△ABC 和△DEC 中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E 在△ABC内部,直线AD与BE 交于点F,当点D,F重合时,直接写出一个等式，表示AF，BF，CF 之间的数量关系.
解： 理由如下:∵∠BCA=∠ECF=90°,
∴∠BCE=∠ACF.∵BC=AC,EC=CF,△BCE≌△ACF,
∴BE=AF,∴BF-AF=BF-BE=EF= CF.
典题精练
类型三 证线段位置关系
1.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的一点(不与B，C 两点重合)，连接AD，以AD为一边向右侧作等边三角形△ADE，连接CE.试判断AB 与CE 的位置关系，并证明.
解:AB∥CE.证明:∵△ABC 与△ADE 都是等边三角形,
∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠ABC=∠CAB=60°,∴AB∥CE.
类型四 求线段长
2.如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD 的长.
解:(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°.在△ABE 和△ACD 中,
(2)∵△ABE≌△ACD,∴AD=AE=6.在Rt△ACD 中,
∵AB=AC=10,∴BD=AB-AD=10-6=4.
专题突破2 全等证明(二)四边形背景
典例精讲
类型一 证线段相等
【例1】 如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F,连接 EF.求证:AE=AF.
证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△AEB 和△AFD 中,
∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.
类型二 求角度
【例2】 (2023 武汉中考第23 题第(1)问)如图,E 是正方形ABCD 边BC 上一点, 是等腰直角三角形,AE=EF,∠AEF=∠ABC=90°,AF 交CD 于点G,求 的度数.
解:在BA 上截取BJ,使得BJ=BE,连接EJ.
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠B=∠BCD=90°,BA=BC,
∵BJ=BE,∴AJ=EC,∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B,
∠AEF=∠B=90°,∴∠CEF=∠EAJ,∵EA=EF,∴△EAJ≌△FEC(SAS),
∴∠AJE=∠ECF,∵∠BJE=45°,∴∠AJE=180°-45°=135°,
∴∠ECF=135°,∴∠GCF=∠ECF-∠ECD=135°-90°=45°.
典题精练
类型三 证位置关系
1.(2023武汉四调第23题第(1)问)如图,E,F 是正方形ABCD 边上的点,连接BE,CF 交于点G,CE=DF.判断BE 与CF 的位置关系,并证明你的结论.
解:BE⊥CF,理由如下:
∵四边形ABCD 为正方形,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°.
∵CE=DF,∴△BCE≌△CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF.
∵∠CBE+∠CEB=90°,∴∠DCF+∠CEB=90°,
∴∠CGE=90°,即BE⊥CF.
类型四 求线段长
2.(2024甘孜州改)如图,在四边形ABCD 中,∠A=90°,连接BD,过点C作CE⊥AB,垂足为E,CE 交BD 于点F,∠1=∠ABC,∠DCE=45°.
(1)求证:BC=BD;
(2)若BC=13,AD=5,求CE 的长.
解:(1)∵CE⊥AB,∴∠CEB=∠DAB=90°,∵∠1=ABC,∴∠2=∠3.
∵∠DCE=45°,∴∠BCD=45°+∠2.
∠3,
∴∠BCD=∠BDC,∴BC=BD;
(2)∵BC=BD=13,AD=5,∴AB= 69-25=12.
∵∠A=∠CEB,∠2=∠3,∴△ADB≌△EBC,∴CE=AB=12.

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