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板块十六 相似与三角函数———突破中考第1问
专题突破1 证相似
典例精讲
类型一 旋转相似
【例1】 (2024武汉三调)如图,在△ABC 和△CDE 中, CE=DE,点 E 在边AB 上.求证:△ACE∽△BCD.
类型二 十字架型相似
【例2】 (2024武汉中考)如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是AB,BC的中点,连接 BD,EF.求证:△BCD∽△FBE.
典题精练
类型三 K型相似
1.如图,在矩形ABCD 中,点E,F,G 分别在线段AB,BC,CD上,且 .求证： ∽△FCG.
类型四 蝶型相似
2.如图,AD,BC 交于点O,AO·DO=CO·BO,求证:
专题突破2 用相似
典例精讲
类型一 求比值
【例1】 (2023武汉四调)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AC,AB,BC上的点,连接DE,DF,ED∥BC,∠ABC=∠EDF.
(1)求证:∠A=∠CDF;
(2)若 D 是AC 的中点,直接写出 的值.
类型二 证等积式
【例2】 (2024上海)如图,在矩形ABCD 中,E为边CD 上一点,且 求证： DE·DC.
典题精练
类型三 证角相等
1.如图,在△ABC 和△ADE 中, 求证:∠BAD=∠EAC.
类型四 求线段长
2.如图,在正方形 ABCD 中,AB=6,P 是线段BC 上的一动点,过点 P 作 交CD 于点E,连接AE.若 BP=2,求 DE 的长.
专题突破3 三角函数的简单证明与计算
典例精讲
类型一 求(或证)正弦值
【例1】 如图,在△ABC中,AD⊥BC 于点 D,BF 平分∠ABC 交AD 于点 E,交 AC 于点 F,BC=5,AD=4,AC=2 .求 sin∠BAD 的值.
【例2】 如图,在矩形 ABCD 中,将△ABD 沿 BD 折叠得到 ,连接 AE.求证:
典题精练
类型二 求(或证)余弦值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D 是AB 的中点,AC=6,BC=8.求( OC 的值.
类型三 求(或证)正切值
2.如图,在矩形ABCD 中,E 为AB 上一点,CF⊥CE 交AD 的延长线于点 F.求证:
3.如图,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点,A ,过点 E 作 EC 的垂线交AB于点 F.求 tan∠ECF 的值.
专题突破4 解直角三角形——2024 武汉中考热点
典例精讲
类型一 利用三角函数值解直角三角形
【例1】 (2024武汉三调)如图是某公园滑梯的横截面图，AB 是台阶，BG 是一个平台，GD是滑道，立柱 BC，EF 垂直于地面AD 且高度相同，AB 与地面AD 的夹角为 GD与地面AD的夹角为37°.若AC=3m,则滑道GD 的长度是 m.(参考数据:s 80,tan37°≈0.75)
类型二 俯角、仰角
【例2】 (2024武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为 ，底端 B 的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据：
【例3】 (2024深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪 EF 测得顶端A 的仰角为 ，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为 则电子厂 AB 的高度为( )(参考数据：
A.22.7m B.22.4m C.21.2m D.23.0m
典题精练
类型三 方位角
1.一渔船在海上点 A 处测得灯塔C 在它的北偏东 方向，渔船向正东方向航行12 海里到达点B 处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C 的最短距离是 海里.
2.(2024泸州)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的点 A 测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点B，测得小岛C 位于北偏西； 方向上，再沿北偏东( 方向继续航行一段时间后到达点 D，这时测得小岛 C 位于北偏西( 方向上.已知点 A，C相距30n mile.求 C，D 两点间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
类型四 坡度、坡角
3.(2024眉山)如图,斜坡 CD 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子 BE 长为10米，则大树AB 的高为 米.
4.(2024甘南州)某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高 BC 为4 米.当太阳光线 AD 与地面CE 的夹角为 时，求阴影 CD 的长.(参考数据：
板块十六 相似与三角函数———突破中考第1问
专题突破1 证相似
典例精讲
类型一 旋转相似
【例1】 (2024武汉三调)如图,在△ABC 和△CDE 中,∠BAC=∠CED=90°,AB=AC,CE=DE,点 E 在边AB 上.求证:△ACE∽△BCD.
解:∵∠BAC=∠CED=90°,AB=AC,CE=DE,
∴△ABC 和△CED 是等腰直角三角形,
∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE∽△BCD.
类型二 十字架型相似
【例2】 (2024武汉中考)如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,连接BD,EF.求证:△BCD∽△FBE.
证明:∵E,F 分别是AB 和BC 中点,
∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,∠EBF=∠C=90°,
典题精练
类型三 K型相似
1.如图,在矩形ABCD 中,点E,F,G分别在线段AB,BC,CD上,且 .求证:△EBF∽△FCG.
证明:在矩形ABCD 中,∠B=∠C=90°,
∵∠EFG=90°,∴∠EFB+∠GFC=90°,∠EFB+∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠GFC,
又∵∠B=∠C=90°,∴△EBF∽△FCG.
类型四 蝶型相似
2.如图,AD,BC交于点O,AO·DO=CO·BO,求证:△ABO∽△CDO.
证明：
又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO.
专题突破2 用相似
典例精讲
类型一 求比值
【例1】 (2023武汉四调)如图,D,E,F 分别是△ABC的边AC,AB,BC上的点,连接DE,DF,ED∥BC,∠ABC=∠EDF.
(1)求证:∠A=∠CDF;
(2)若 D 是AC 的中点,直接写出 的值.
解:(1)∵ED∥BC,∴∠AED=∠ABC,
∵∠ABC=∠EDF,∴∠AED=∠EDF,∴DF∥AB,∴∠A=∠CDF;
(2)∵DF∥AB,∴∠A=∠CDF,∠CFD=∠B,∴△CDF∽△CAB,∵D 为AC 中点,
类型二 证等积式
【例2】 (2024上海)如图,在矩形ABCD中,E 为边CD上一点,且AE⊥BD.求证: DE·DC.
证明:在矩形ABCD 中,∠BAD=∠ADE=90°,AB=DC,
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°,∴∠ABD=∠DAE,
∴AD =DE·BA,∵AB=DC,∴AD =DE·DC.
典题精练
类型三 证角相等
1.如图,在△ABC 和△ADE 中, 求证:∠BAD=∠EAC.
证明：
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠EAC.
类型四 求线段长
2.如图,在正方形 ABCD 中,AB=6,P 是线段BC上的一动点,过点 P 作 交CD于点E,连接AE.若 BP=2,求 DE 的长.
解:设DE=x,则EC=6-x.易证△ABP∽△PCE,
即
∴DE的长为
专题突破3 三角函数的简单证明与计算
典例精讲
类型一 求(或证)正弦值
【例1】 如图,在△ABC中,AD⊥BC 于点 D,BF 平分∠ABC 交AD 于点 E,交 AC 于点 F,BC=5,AD=4,AC=2 求 sin∠BAD 的值.
解：
∵BC=5,∴BD=BC-CD=5-2=3.
在 Rt△ABD 中,
【例2】 如图,在矩形 ABCD 中,将△ABD 沿 BD 折叠得到△EBD,连接AE.求证:
证明:由题意得AE⊥BD,∠BED=∠BAD=90°.
∴∠AED+∠BEA=90°,∠DBE+∠BEA=90°,∴∠AED=∠DBE.
典题精练
类型二 求(或证)余弦值
1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是AB 的中点,AC=6,BC=8.求cos∠ADC 的值.
解:过点C 作CF⊥AB 于点F.
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=√AC +BC =10,
∵D是AB的中点,∴CD=AD=5.
类型三 求(或证)正切值
2.如图,在矩形ABCD 中,E为AB上一点,CF⊥CE 交AD 的延长线于点 F.求证:
证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°.
∵CF⊥CE,∴∠ECF=90°,∴∠ECB+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°,
∴∠ECB=∠DCF,又∵∠ABC=∠FDC=90°,∴△EBC∽△FDC,
3.如图,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点,AD=4ED,CD=2ED,过点 E 作EC 的垂线交AB于点F.求 tan∠ECF 的值.
解:设ED=x,AD=4ED=4x,CD=2ED=2x,∴AE=3x,
易证
专题突破4 解直角三角形
典例精讲
类型一 利用三角函数值解直角三角形
【例1】 (2024武汉三调)如图是某公园滑梯的横截面图，AB 是台阶，BG 是一个平台，GD是滑道,立柱 BC,EF 垂直于地面AD 且高度相同,AB 与地面AD 的夹角为45°,GD 与地面AD的夹角为37°.若AC=3m,则滑道GD 的长度是 5 m.(参考数据:s 80,tan37°≈0.75)
解:过点 G 作GH⊥AD 于点H,
则GH=EF=BC,由题意得∠ACB=90°,∠A=45°,
∴△ACB 是等腰直角三角形，
∴AC=BC=3m,∵立柱BC,EF 垂直于地面AD 且高度相同,
∴GH=BC=3m,在 Rt△GDH 中
则 故答案为5.
类型二 俯角、仰角
【例2】 (2024武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为 ，底端 B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 51 m.(参考数据：t
解:过点C 作CH∥BD,交 BA 的延长线于点H.
由题意得∠ABD=∠CDB=90°,
∴四边形BDCH 是矩形,∴BH=CD=102m,
在 Rt△BCH 中,
在 Rt△ACH 中,∠ACH=45°,
∴∠CAH=45°=∠ACH,∴AH=CH=51m,∴AB=BH-AH=51m.故答案为51.
【例3】 (2024深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为45°，小军在小明的前面5m 处用高 1.5m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为53°,则电子厂 AB 的高度为( A )(参考数据:
A.22.7m B.22.4m C.21.2m D.23.0m
解:由题意得EF=BM=1.8m,CD=BN=1.5m,DF=5m,EM=BF,BD=CN,EM⊥AB,CN⊥AB.设BD=CN=x m,∴EM=BF=DF+BD=(x+5)m,在Rt△AEM 中,∠AEM=45°,∴AM=EM·tan45°=(x+5)m,在 Rt△ACN 中,
∴ 9,
∴电子厂AB 的高度约为22.7m,故选 A.
典题精练
类型三 方位角
1.一渔船在海上点 A 处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B 处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里.
解:过点C 作CH⊥AB 于点 H.∵∠DAC=60°,∠CBE=45°,∴∠CAH=30°,∠CBH=45°,∴∠BCH=∠CBH=45°,∴BH=CH.在 Rt△ACH 中,∠CAH= 解得 .渔船与灯塔C 的最短距离是( 海里.
2.(2024泸州)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的点 A 测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点B，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东( 方向继续航行一段时间后到达点 D，这时测得小岛 C 位于北偏西60°方向上.已知点 A，C相距30n mile.求C，D 两点间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
解:过点C作CH⊥AB 于点H,过点 D 作DG⊥AB,交AB 的延长线于点G.∵∠CAB=45°,AC=30 n mile,∴AH=CH=15 n mile,∵∠CBH= 答：C，D两点间的距离为
类型四 坡度、坡角
3.(2024眉山)如图，斜坡 CD的坡度i=1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE 长为10米，则大树AB 的高为 米.
解：过点E 作水平地面的平行线，交AB 的延长线于点H，则∠BEH=∠DCF.
在 Rt△BEH 中,
设BH=x米,则EH=2x米,
5米, 米.
。(米),
米.故答案为(
4.(2024甘南州)某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高 BC 为4米.当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长.(参考数据：
解:过点A 作AG⊥BC于点G,作AF⊥CE 于点 F,
∴四边形AGCF 是矩形,
∴AG=CF,GC=AF.
∵AB=5m,BC=4m,∠BAG=16°,
∴AG=AB · cos∠GAB=5×cos16°≈5×0.96=
4.8(m),BG=AB·sin∠GAB=5×sin16°≈5×0.28=1.4(m),∴CF=4.8m,CG=4-1.4=2.6(m),
∴AF=2.6(m),∵∠ADF=45°,
∴AF=DF=2.6m∴CD=CF-DF=4.8-2.6=2.2(m).

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